Глава 1. Теоретические сведения о функциях

1.3. Числовые функции

1.3.2. Четность функций

Функция f (x) называется четной, если для любого выполняются равенства:
1) ,
2) f (–x) = f (x).

График четной функции на всей области определения симметричен относительно оси OY. Примерами четных функций могут служить y = cos x, y = |x|, y = x² + |x|.

График 1.3.2.1. График четной функции

График 1.3.2.2. График нечетной функции

Функция f (x) называется нечетной, если для любого выполняются равенства:
1) ,
2) f (–x) = –f (x).

Иными словами функция называется нечетной, если ее график на всей области определения симметричен относительно начала координат. Примерами нечетных функций являются y = sin x, y = x³.

Не следует думать, что любая функция является либо четной, либо нечетной. Так, функция не является ни четной, ни нечетной, так как ее область определения несимметрична относительно начала координат. Область определения функции y = x³ + 1 охватывает всю числовую ось и поэтому симметрична относительно начала координат, однако f (–1) ≠ f (1).

Если область определения функции симметрична относительно начала координат, то эту функцию можно представить в виде суммы четной и нечетной функций.

Таковой суммой является функция Первое слагаемое является четной функцией, второе – нечетной.

Модель 1.8. Четные и нечетные функции

Исследование функций на четность облегчается следующими утверждениями.

• Сумма четных (нечетных) функций является четной (нечетной) функцией.
• Произведение двух четных или двух нечетных функций является четной функцией.
• Произведение четной и нечетной функции является нечетной функцией.
• Если функция f четна (нечетна), то и функция 1/f четна (нечетна).