Глава 1. Теоретические сведения о функциях

1.3. Числовые функции

1.3.4. Периодические функции

Функция f (x) называется периодической с периодом T ≠ 0, если выполняются два условия:

• если , то x + T и x – T также принадлежат области определения D (f (x));
• для любого выполнено равенство
  

  f (x + T) = f (x).

Поскольку то из приведенного определения следует, что f (x – T) = f (x).

Если T – период функции f (x), то очевидно, что каждое число nT, где , n ≠ 0, также является периодом этой функции.

Наименьшим положительным периодом функции называется наименьшее из положительных чисел T, являющихся периодом данной функции.

График 1.3.4.1. График периодической функции

График периодической функции обычно строят на промежутке [x₀; x₀ + T), а затем повторяют на всю область определения.

Хорошим примером периодических функций могут служить тригонометрические функции y = sin x, y = cos x (период этих функций равен 2π), y = tg x (период равен π) и другие. Функция y = const также является периодической. Для нее периодом является любое число T ≠ 0.

1

Рисунок 1.3.4.1. Не следует думать, что периодическими бывают только тригонометрические функции. Функция y = [x], где [x] – целая часть числа x (наибольшее целое число, не превосходящее x) позволяет определить функцию y = {x}, где {x} – дробная часть числа x. По определению {x} = x – [x] (например, {3,7} = 0,7, {–6} = 0, {–4,2} = –4,2 – (–5) = 0,8). Дробная часть числа – функция с периодом T = 1.

В заключение отметим свойства периодических функций.

• Если f (x) – периодическая функция с периодом T, то функция g (x) = A · f (kx + b), где k ≠ 0 также является периодической с периодом .
• Пусть функции f₁ (x) и f₂ (x) определены на всей числовой оси и являются периодическими с периодами T₁ > 0 и T₂ > 0. Тогда если  то функция периодическая с периодом T, равным наименьшему общему кратному чисел и