Задачи

Решение.

По обратной теореме Виета решениями уравнения, соответствующего первому неравенству, являются числа –2 и a² + b², решениями уравнения, соответствующего второму неравенству, – числа 25/4 и –(a + b). Решениями первого неравенства являются все числа из интервала (–2; a² + b²). Решениями второго неравенства являются все числа, лежащие вне интервала с концами в точках 25/4 и –(a + b). 

Система неравенств не имеет решений только тогда, когда интервал, соответствующий первому неравенству, целиком содержится внутри интервала, соответствующего второму неравенству. Одно из чисел 25/4 и –(a + b) должно быть не меньше, чем a² + b², а второе – не больше, чем –2. Т.к. 25/4 > –2, то

Фигура Ф, задаваемая приведенной системой неравенств, – это сегмент, ограниченный дугой окружности радиуса 5/2 с центром в начале координат, и полуплоскостью a + b ≥ 3. Ее площадь S = S₁ – S₂, где S₁ – площадь сектора AOB, S₂ – площадь треугольника AOB.

Координаты точек A и B находятся из системы уравнений Решив ее, получим   Отсюда

Пусть C – середина AB. Тогда   Площадь сектора (здесь α –   Площадь треугольника Площадь фигуры Ф, таким образом, составляет