Глава 2. Элементарные функции и их графики

Модель 2.18.  Метод деления отрезка пополам

Интерактивная модель демонстрирует один из наиболее распространенных способов нахождения нулей функции на отрезке (и решения алгебраических уравнений) – метод деления отрезка пополам. Суть этого метода заключается в следующем. Пусть монотонная непрерывная функция принимает на концах некоторого отрезка значения разного знака. В таком случае, у этой функции на данном отрезке обязательно есть ноль. Разделим этот отрезок пополам и выберем в качестве нового отрезка ту половину данного отрезка, на концах которой функция по-прежнему принимает значения разного знака. В конце концов, либо функция на одной из границ отрезка станет равной нулю, и мы решим нашу задачу, либо через некоторое количество шагов рассматриваемый отрезок станет настолько маленьким, что его длина не будет превышать точности, с которой нужно найти положение нуля функции. В этом случае нулем функции можно приближенно считать любую из точек этого маленького отрезка.

Введите функцию в поле ввода в правом верхнем углу модели. Задайте границы отрезка [a; b], на котором ищутся нули, при помощи полей численного ввода. Нажмите кнопку Сделать шаг. Программа определит, является функция на отрезке [a; b] монотонной и непрерывной. Если функция не является непрерывной, то в окне вывода будет выдано сообщение об этом; вам будет предложено уточнить границы отрезка, на котором ищутся нули. То же самое произойдет, если предполагаемых нулей функции на данном отрезке будет слишком много (примером является поиск нулей функции y = sin (1/x) на отрезке [–1; 1]). Если она является непрерывной на отрезке, но не монотонна, то отрезок будет разбит экстремумами функции на несколько отрезков меньшей длины, на каждом из которых данная функция является монотонной.

Продолжайте нажимать кнопку Сделать шаг. Следите на графике функции и в окне вывода за тем, как изменяются границы отрезков, на которых ищутся нули. Через несколько шагов нули будут найдены с точностью до сотых.

Кнопка Сброс возвращает модель в исходное состояние.