Задачи с решениями

Два автомобиля приближаются к перекрестку по взаимно перпендикулярным дорогам с постоянными скоростями и В момент времени, когда первый автомобиль достиг перекрестка, второй находился от него на расстоянии l₀. Определите минимальное расстояние между автомобилями в процессе их движения. Проведите расчет при υ₁ = 6 м/с, υ₂ = 8 м/с, l₀ = 30 м.

Положение каждого из автомобилей в любой момент времени можно задать двумя координатами. Выберем Землю в качестве тела отсчета. Направим координаты оси OX и OY вдоль дорог в направлении движения автомобилей (рис. 1.2.1). За начало координат выберем перекресток, за начало отсчета времени – момент пересечения перекрестка первым автомобилем. Уравнения движения автомобилей записываются в виде:

Расстояние l между автомобилями в любой момент времени равно

Рисунок 1.2.1.

Задача сводится к нахождению минимального значения l_min переменной величины l, связанной функциональной зависимостью с другой переменной величиной t. Эта задача решается методами дифференциального исчисления. Однако, задачу можно решить гораздо проще, если выбрать другую систему отсчета.

В качестве тела отсчета выберем второй автомобиль; направление координатных осей O'X' и O'Y' и начало отсчета времени примем такими же, как и в первом способе решения задачи. В системе отсчета, связанной со вторым автомобилем, первый автомобиль движется со скоростью равной:

Эта скорость направлена под некоторым углом α к прямой, соединяющей автомобили в начальный момент времени t = 0 (рис. 1.2.2).

Рисунок 1.2.2.

Кратчайшее расстояние l_min между автомобилями равно длине отрезка перпендикуляра, опущенного из начала координат, в котором находится второй автомобиль (точка O') на прямую, по которой движется первый автомобиль относительно второго.

Таким образом,

Подстановка числовых значений дает: l_min = 18 м.

2 из 2