Пусть X и Y – две разные точки, образы которых при преобразовании движения f совпадают, т. е. f (X) = f (Y). По определению ρ (f (X), f (Y)) = ρ (X, Y). С одной стороны, ρ (X, Y) ≠ 0, так как по условию X  ≠  Y. С другой стороны, ρ (f (X), f (Y)) = 0 в силу предположения. Полученное противоречие доказывает теорему.

Пусть f – заданное движение,  – обратное к нему преобразование, а  и  – две точки плоскости, являющиеся образами точек X и Y. По определению обратного преобразования   при этом   и   Следовательно,  – движение. Теорема доказана.

Пусть движение переводит три точки A, B, C, лежащие на одной прямой, в точки  соответственно, и для определенности положим, что точка B лежит между точками A и C. Тогда выполняются равенства
Отсюда   Это означает, что точка   лежит между точками   и   Первая часть утверждения доказана.

Предположим, что найдутся три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой, такие, что их образы  при движении f лежат на некоторой прямой. Рассмотрим преобразование   По теореме 12.2  – движение, и в соответствии с доказанным в первой части теоремы образы точек  лежащих на одной прямой, также лежат на одной прямой. Но   а они по предположению не лежат на одной прямой. Полученное противоречие доказывает теорему.

1. Пусть концам отрезка AB движение f сопоставляет точки  и   Возьмем любую точку X отрезка AB. Тогда по теореме 12.3  лежит на прямой  между точками  и  то есть на отрезке  Наоборот, любую точку  отрезка  преобразование  преобразует в точку Y, принадлежащую отрезку AB, так как  – также движение. Теорема доказана.
2. Пусть A и B – произвольные точки данной прямой,  – прямая, проведенная через образы точек A и B при движении f. Рассмотрим произвольную точку C прямой AB. По теореме 12.3 точки  где  лежат на одной прямой, т.е. прямой  Аналогично в силу того, что  – движение, для точки  прямой  существует точка D прямой AB такая, что  Поскольку при движении взаимное расположение точек сохраняется, то луч переходит в луч при преобразовании движения.
3. По теореме 12.3 три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой, переходят при преобразовании движения в точки  соответственно, не лежащие на одной прямой. Кроме того, отрезки AB, BC и AC переходят в отрезки  Таким образом, треугольник ABC переходит в треугольник   Причем по определению движения   Тогда по третьему признаку равенства треугольников треугольники ABC и  равны.

Рассмотрим три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой. Они задают лучи AB и AC, являющиеся сторонами угла BAC. Пусть  – соответственно образы рассматриваемых точек A, B, C. Докажем, что   Согласно доказательству предыдущей теоремы треугольник ABC равен треугольнику  а из равенства треугольников следует, что  Теорема доказана.

1

Рисунок 12.2.1. К теореме 12.5

Возьмем любую точку X  F. Пусть X₁ = f (X) и X₂ = g (X). Покажем, что X₁ и X₂ совпадают. Допустим, что X₁ и X₂ – различные точки. Так как f и g – движения, то X₁A₁ = XA и X₂A₁ = XA. Поэтому A₁X₂ = A₂X₂, т.е. точка A₁ равноудалена от точек X₁ и X₂. Следовательно, точка A₁ лежит на серединном перпендикуляре отрезка X₁X₂ – прямой l (см. рис. 12.2.1).

Но точно также можно сказать, что и точки B₁ и C₁ лежат на одной прямой l. Мы получим, что точки A₁, B₁, C₁ лежат на одной прямой l. Это противоречит теореме 12.3. Итак,   и   совпадают, и в силу произвольности выбора X движения f и g совпадают.

Введем векторы   В силу равенства треугольников ABC и имеем равенства
т.е.

(*)

Пусть P – любая точка. Разложим вектор   по векторам   и   Получим   Зададим преобразование f следующим образом: каждой точке P поставим в соответствие точку так, что если   то   Для этого преобразования т.к. при P = A α = β = 0, что дает   т.к. при P = B α = 1, β = 0, тогда И, наконец, Докажем, что f – движение. Возьмем любые две точки P и Q и соответствующие им точки и Пусть    Тогда    и    Возведя в скалярный квадрат эти равенства, получим
и
Ввиду равенств (*) имеем   или Следовательно, f – движение. Теорема доказана.