\n');
Глава 12. Преобразования
12.4. Симметрия и поворот
Точки X и
называются симметричными относительно прямой a, и каждая из них – симметричной другой, если a является серединным перпендикуляром отрезка
(см. рис. 12.4.1). Очевидно, что если дана прямая a, то каждой точке X соответствует единственная точка
симметричная относительно a. Кроме того, множеством неподвижных точек преобразования симметрии относительно прямой a является эта прямая a.
Преобразованием симметрии относительно прямой a (или осевой симметрией с осью a) называется такое преобразование фигуры F (см. рис. 12.4.2), при котором каждой точке данной фигуры сопоставляется точка, симметричная ей относительно прямой a. Обозначим
a – ее ось симметрии. Фигура называется симметричной относительно прямой a, если фигура симметрична сама себе (см. рис. 12.4.3), то есть
Замечание. Поскольку симметричность точек относительно прямой взаимна, то фигуры F и
называются симметричными относительно прямой a.
 1
|
Рисунок 12.4.1. Симметрия точек относительно прямой
|
|
 2
|
Рисунок 12.4.2. Симметрия треугольников
|
|
 3
|
Рисунок 12.4.3. Симметрия фигур
|
|
Теорема 12.10.
Преобразование симметрии относительно прямой является движением.
Поворотом фигуры F вокруг центра O на данный угол
φ (0° ≤ φ ≤ 180°) в данном направлении называется такое ее преобразование, при котором каждой точке X
F сопоставляется точка
так, что
и луч
откладывается от луча OX в заданном направлении. Точка O называется центром поворота, а угол φ – углом поворота (рис. 12.4.4). Множеством неподвижных точек преобразования поворота является центр поворота.
 4
|
Рисунок 12.4.4. Поворот фигуры
|
Теорема 12.11.
Поворот является движением.
Пусть при повороте вокруг точки O точкам X и Y сопоставляются точки
и
(рис. 12.4.5).
 5
|
Рисунок 12.4.5. К теореме 12.11
|
Очевидно,
и
по теореме 11.6. Откуда
Из этих равенств имеем:
где α = XOY,

Но по определению поворота

Кроме того,

и

Знаки «+» или «–» выбираются соответственно, если OY лежит между OX и

и если OY не лежит между

и OX. Но по определению

– углу поворота. Отсюда

или α = β. В итоге получаем

откуда

Следовательно, по определению поворот – движение. Теорема доказана.
|
Точки X и
называются симметричными относительно заданной точки O, если
а лучи OX и
являются дополнительными. Точка O считается симметричной самой себе.
Преобразованием симметрии (или центральной симметрией) относительно точки O называется такое преобразование фигуры F, при котором каждой ее точке X сопоставляется точка
симметричная относительно точки O. Обозначается
Фигура называется симметричной относительно точки O или центрально-симметричной, если она симметрична сама себе относительно точки O. Точка O называется центром симметрии.
Теорема 12.12.
Центральная симметрия является движением.
Справедливость теоремы следует из того, что центральная симметрия есть поворот на 180°, и теоремы 12.11.
|
