Площадь
Задачи с решениями
Доказать, что площадь треугольника может быть вычислена по следующим формулам:
а)
где γ – угол между сторонами a и b треугольника;
б) 
где a, b, c – стороны треугольника, а
– полупериметр;
в)
где a, b, c – стороны треугольника, R – радиус описанной окружности;
г) S = pr, где p – полупериметр треугольника, r – радиус вписанной окружности.
Решение
а) Проведем в треугольнике ABC высоту BD. Имеем
Из прямоугольного треугольника CBD: BD = BC · sin γ, если γ острый (см. первый рисунок), BD = BC · sin (180° – γ), если угол γ тупой (см. второй рисунок). Так как sin (180° – γ) = sin γ, то в любом случае BD = BC · sin γ.
Cледовательно,
что и требовалось доказать.
б) Из пункта а)
По теореме косинусов 
Отсюда
Значит,
Замечая, что a + b + c = 2p, a + b – c = 2p – 2c, a + c – b = 2p – 2b, c – a + b = 2p – 2a, получаем
Таким образом,
в) Как известно (см. задачу 1 главы 7),
где α – угол, противолежащей стороне a треугольника. Отсюда
Умножая обе части на
и замечая, что
получаем
г) Соединим центр вписанной окружности O с вершинами треугольника ABC и проведем радиусы в точки касания (см. третий рисунок).
Площадь треугольника ABC равна сумме площадей треугольников OAB, OBC и AOC. Но
Отсюда
1 из 6
 |
