16.2. Отношения между множествами

Глава 16. Введение в математическую логику

16.2. Отношения между множествами

Пусть во множестве A задано некоторое отношение "○".

Определение 16.4.

Отношение "○" рефлексивно, если для любого элемента a из множества A выполнено a○a (т.е. любой элемент связан отношением ○ с самим собой).
Например: отношение равенства на множестве отрезков рефлексивно, так как любой отрезок равен сам себе.

Определение 16.5.

Отношение ○ симметрично, если из a○b следует b○a для любых элементов a и b множества A. Отношение равенства на множестве отрезков является симметричным, так как если [AB] = [CD], то и [CD] = [AB].

Определение 16.6.

Отношение ○ называется транзитивным, если из того, что a○b и b○c следует, что a○c. В частности, отношение равенства отрезков рефлексивно, так как если отрезок AB равен отрезку CD, а отрезок CD равен отрезку MN, то отрезок AB равен отрезку MN.

Определение 16.7.

Отношение ○ во множестве A называется отношением эквивалентности, если оно одновременно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Всякое отношение эквивалентности во множестве A позволяет специальным образом различать элементы этого множества. Обозначим через C (a) множество всех элементов x из A, таких, что Это множество является подмножеством A, которое называется классом эквивалентности a. Если то в силу симметричности и транзитивности отношения любой элемент x, эквивалентный a, эквивалентен и b. Если же b не эквивалентен a, то C (a) и C (b) не имеют общих элементов, потому что если и , то в силу симметричности и , и в силу транзитивности что противоречит условию. Таким образом, отношением эквивалентности множество A разбивается на непересекающиеся классы эквивалентности, при котором каждый элемент A попадает в свой класс.

Как мы видели в приведенных выше примерах, равенство на множестве отрезков является отношением эквивалентности и задает его разбиение на классы эквивалентности. Каждый такой класс содержит отрезки заданной длины.

Определение 16.8.

Пересечением множеств A и B называется множество, в которое входят те и только те элементы, которые одновременно принадлежат множествам A и B (общие элементы множеств A и B). Обозначение: AB, где символ – знак пересечения двух множеств. Два множества пересекаются, если AB ≠ , и не пересекаются, если AB = .

Например: если две прямые a и b не пересекаются, то можно записать ab = , если же они пересекаются, то по определению их пересечением является общая точка A (ab = A). Пересечением луча a с дополняющим его лучом a' является их общее начало O (aa' = O).

Определение 16.9.

Объединением двух множеств A и B называется множество, состоящее из тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств. Обозначение: AB, где символ – знак объединения множеств.

Например: объединением луча a с дополняющим его лучом a' является прямая.

Определение 16.10.

Разностью двух множеств A и B называется такое множество, в которое входят все те элементы, которые принадлежат A и не принадлежат B. Обозначение: A \ B. Если B – подмножество A, то A \ B называют дополнением к B и обозначают B'.

Например: разностью прямой a и ее луча с началом O является множество точек дополняющего луча a' без начальной точки O.

Введенные операции обладают рядом свойств.

Свойство 16.1.

Пересечение и объединение множеств коммутативно (перестановочно): AB = BA; AB = BA.

Доказательство

Свойство 16.2.

Пересечение и объединение множеств ассоциативно: для любых множеств A, B и C имеем

(AB)C = A(BC); (AB)C = A(BC).

Доказательство

Свойство 16.3.

Если AB, то AB = A, AB = B.

Доказательство

Связь операций пересечения и объединения множеств отражает свойство дистрибутивности.

Свойство 16.4.

Для любых множеств A, B и C справедливы равенства:
а) A(BC) = (AB)(AC),
б) A(BC) = (AB)(AC).

Доказательство

Понятия множества и подмножества используются при определении многих понятий математики и, в частности, при определении геометрической фигуры.

Определим как универсальное множество плоскость. Тогда можно дать следующее определение геометрической фигуры в планиметрии.

Определение 16.11.

Геометрической фигурой называется всякое множество точек плоскости.

Таким образом, как сама точка, так и конечное и бесконечное множество точек являются геометрическими фигурами.

Из определения 16.11 непосредственно следует, что объединение и пересечение геометрических фигур есть геометрическая фигура.

Если фигура F₁ явлется собственным подмножеством фигуры F₂, то говорят также, что F₁ – часть фигуры F₂. Например, отрезок AB – часть прямой.

Чтобы наглядно отображать множества и отношения между ними, рисуют геометрические фигуры, которые находятся между собой в этих отношениях. Такие изображения множеств называют диаграммами Эйлера–Венна. Диаграммы Эйлера–Венна делают наглядными различные утверждения, касающиеся множеств. На них универсальное множество изображают в виде прямоугольника, а его подмножества – кругами. Диаграммы, представленные на рис. 16.2.5 a) – d), иллюстрируют понятия, введенные выше.

Рисунок 16.2.5

Диаграммами Эйлера–Венна удобно пользоваться для наглядного изображения между различными понятиями. На рисунке 16.2.5 a) и b) представлены отношения и – соответственно.

На рисунке 16.2.5 f) представлена диаграммама Эйлера–Венна для иллюстрации утверждения: если и то

Рисунок 16.2.5 g) можно рассматривать как иллюстрацию опроверждения утверждения: если и то

Глава 16. Введение в математическую логику

16.2. Отношения между множествами window.top.document.title = "16.2. Отношения между множествами";

16.2. Отношения между множествами