Построение фигур
Задачи с решениями
Построить треугольник по стороне и медианам, проведенным к двум другим сторонам.
Решение
Шаг 1
Анализ. Пусть ΔABC – треугольник, который требуется построить; пусть AB = c – данная по условию сторона, AD = a и BE = b – его медианы, M – точка их пересечения.
Шаг 2Известно, что медианы, пересекаясь, делят друг друга в отношении 2:1 считая от вершины. Значит,
и
Таким образом, стороны треугольника ΔABM известны и его можно построить.
Шаг 4
Построим треугольник ABM по трем сторонам.
Шаг 5
Продолжим отрезок AM на величину 
и найдем точку D; продолжим отрезок BM на величину 
и найдем точку E.
Шаг 6
Проведем лучи AE и BD и найдем точку C их пересечения. Треугольник ABC искомый.
Шаг 7Доказательство. В треугольнике ABC AB, BE и AD – данные отрезки. Проведем отрезок DF || BE. Поскольку 
то
Значит, DF – средняя линия треугольника CBE и D – середина отрезка BC. Аналогично доказывается, что E – середина отрезка AC.
3 из 6
 |
