Построение фигур
Задачи с решениями
В окружности проведены два радиуса. Провести хорду, которая делилась бы этими радиусами на три равные части.
Решение
Шаг 1
На чертеже изображена данная окружность и данные радиусы AO и BO. Пусть MQ – искомая хорда (MN = NP = PQ).
Шаг 2Анализ. Пусть радиус 
делит угол 
AOB пополам.
Шаг 3Через точку O1 проведем касательную к окружности. Продолжим отрезки AO и BO до пересечения с этой касательной и получим точки A1 и B1 соответственно.
Шаг 4Строим на прямой A1B1 точки M1 и Q1, такие, что A1M1 = A1B1 = B1Q1. Отметим, что точка M лежит на отрезке OM1, а точка Q лежит на отрезке OQ1.
Шаг 5Построение. Строим точку O1 – середину дуги AB. Через точку O1 проводим касательную к окружности.
Шаг 6Продолжаем отрезки OA и OB до пересечения с этой касательной. Пусть A1 и B1 – точки пересечения касательной и продолжений отрезков OA и OB соответственно.
Шаг 7Строим на прямой A1B1 точки M1 и Q1 так, чтобы M1A1 = A1B1 = B1Q1 и M1Q1 = 3·A1B1. Проводим отрезки OM1 и OQ1.
Шаг 8Точки M и Q пересечения отрезков OM1 и OQ1 с окружностью и будут концами искомой хорды MQ
Шаг 9Доказательство. Гомотетия с центром O и коэффициентом
переводит отрезок 
в отрезок MQ. Так как M1A1 = A1B1 = B1Q1, то, из свойств гомотетии, MN = NP = PQ, где N, P – точки пересечения хорды MQ и радиусов AO и BO соответственно.
6 из 6
 |
