Чертеж 1.2.1

Пусть B  a (чертеж 1.2.1). На прямой a выберем произвольную точку A. Проведем прямую b через точки A и B; a ≠ b, так как B  a. По аксиоме 1.3 через прямые a и b можно провести плоскость α. Ясно, что a  α и B  α. Докажем от противного, что такая плоскость единственна. Пусть существует плоскость β такая, что a  β, B  β и β ≠ α. Плоскости α и β имеют общую прямую a. Поскольку эти плоскости разные, то все их точки пересечения по аксиоме 1.2 лежат на прямой a. Мы пришли к противоречию, так как точка B, общая для плоскостей α и β, не принадлежит прямой a.

Чертеж 1.2.2

Пусть точки A и B прямой a лежат в плоскости α (чертеж 1.2.2). Возьмем точку C  a. По теореме 1.1 через прямую a и точку C можно провести плоскость β. Если β  =  α, то a  α и теорема доказана. Если β ≠ α, то по аксиоме 1.2 плоскости β и α имеют общую прямую b. Прямые a и b, лежащие в одной плоскости, совпадают, так как имеют две общие точки: A и B. Следовательно, a  α.