Задачи с решениями

Концы отрезка AB принадлежат граням двугранного угла величиной φ. Расстояния AA₁и BB₁ от точек A и B до ребра двугранного угла равны a и b соответственно, A₁B₁ = c. Найти AB.

Построим отрезок B₁D, равный и параллельный отрезку AA₁ (см. чертеж). Тогда имеем BB₁A₁B₁ и DB₁A₁B₁, поэтому BB₁D – линейный угол двугранного угла и, следовательно, BB₁D = φ. Из ΔBB₁D по теореме косинусов имеем BD² = a² + b² – 2ab cos φ. Отрезок AD перпендикулярен плоскости B₁BD, поэтому BDA = 90°. Из ΔABD имеем AB² = BD² + AD² = a² + b² – 2ab cos φ + c².

Ответ: искомый отрезок

10 из 19