Чертеж 6.1.1

Пусть ABCA₁B₁C₁ – прямая треугольная призма, причем ее основание – прямоугольный треугольник ABC (чертеж 6.1.1). Дополним эту призму до прямоугольного параллелепипеда ACBDA₁C₁B₁D₁. Середина O диагонали AB₁ этого параллелепипеда является его центром симметрии. Данная призма и призма ABDA₁B₁D₁, которая дополняет данную призму до параллелепипеда, симметричны относительно точки O, а поэтому равновелики. Пусть V и V₁ – соответственно объемы призмы ABCA₁B₁C₁ и параллелепипеда, тогда, учитывая теорему 6.1, получим

Чертеж 6.1.2

Рассмотрим произвольную прямую треугольную призму ABCA₁B₁C₁ (чертеж 6.1.2). Если Δ ABC не прямоугольный, то его можно разбить на два прямоугольных треугольника ADC и BDC. Следовательно,

V = V1 + V2 = SΔ ADC · H + SΔ BDC · H = SΔ ABC · H = S · H.

Таким образом, теорема справедлива для произвольной прямой треугольной призмы. Если есть прямая n-угольная призма (n > 3), разобьем ее на конечное число прямых треугольных призм (чертеж 6.1.3).

Чертеж 6.1.3

Сложив объемы этих треугольных призм, получим объем n-угольной призмы V = V₁ + V₂ + ... + V_n = (S₁ + S₂ + ... + S_n)H = S · H, где S₁, S₂, ..., S_n – площади оснований треугольных призм, S и H – площадь основания и высота n-угольной призмы.

Чертеж 6.1.4

Пусть – наклонная призма (чертеж 6.1.4), и – перпендикулярные сечения этой призмы. Призма прямая, причем . Заметим, что параллельный перенос на вектор переводит многогранник A₂B₂C₂A₁B₁C₁ в многогранник A₃B₃C₃ABC. Следовательно, эти многогранники равновеликие. Пусть V – объем призмы ABCA₁B₁C₁, V₁ – объем призмы A₃B₃C₃A₂B₂C₂, V₂ – объем многогранника A₂B₂C₂ABC, тогда V + V₂ = V₁ + V₂, откуда V = V₁. Поскольку призма A₃B₃C₃A₂B₂C₂ прямая, то

V1 = SΔ A3B3C3 · A2A3 = Sпс · l = V,

что и требовалось доказать.

Чертеж 6.1.5

Пусть A₂B₂C₂ – перпендикулярное сечение наклонной призмы ABCA₁B₁C₁ (чертеж 6.1.5), A₁O – высота этой призмы. Пусть . Поскольку , а , то плоскости и ABC образуют тот же угол φ, что и прямые A₁A и A₁O. По теореме о площади ортогональной проекции S_A2B2C2 = S_ABС cos φ. Согласно теореме 6.3

V = SA2B2C2 · A1A = SABС cos φ · A1A = SABС · A1O = S · H.