Глава 5. Тела вращения

Модель 5.1.  Конические сечения

Конические сечения – это плоские кривые, которые получаются пересечением прямого кругового конуса плоскостью, не проходящей через его вершину. С точки зрения аналитической геометрии коническое сечение представляет собой геометрическое место точек, удовлетворяющих уравнению второго порядка. Со времен Аполлония конические сечения делятся на три типа в зависимости от наклона секущей плоскости к образующей конуса. Эллипс образуется, когда секущая плоскость пересекает все образующие конуса в точках одной его полости; парабола – когда секущая плоскость параллельна одной из касательных плоскостей конуса; гипербола – когда секущая плоскость пересекает обе полости конуса. Существуют также вырожденные случаи, когда коническим сечением является точка, прямая либо пара прямых.

Эллипс можно определить как геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух заданных точек постоянна; параболу – как геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки и заданной прямой; гиперболу – как геометрическое место точек, разность расстояний от которых до двух заданных точек постоянна.

Модель демонстрирует конические сечения. Секущую плоскость можно перемещать вдоль конуса, захватив мышью ее нижнюю точку; при перемещении верхней точки происходит поворот плоскости относительно оси, перпендикулярной экрану. Поэкспериментируйте, как изменяется форма сечения при изменении относительного расположения прямой и плоскости. Поскольку модель имеет ограниченные размеры, в ней изображена только часть бесконечного конуса (для простоты – только одна его половина).

Переключившись в демонстрационный режим при помощи кнопки со значком кинопроектора, можно просмотреть анимацию. Кнопка Старт запускает ее, кнопка Стоп – приостанавливает, а кнопка Сброс возвращает анимацию в исходное состояние. Кнопка со значком руки переводит модель обратно в интерактивный режим.