Глава 3. Решение уравнений и неравенств
3.2.
3.2.5.
При решении тригонометрических неравенств вида f (x) ≥ 0, где f (x) − одна из тригонометрических функций, удобно использовать тригонометрическую окружность для того, чтобы наиболее наглядно представить решения неравенства и записать ответ. Основным методом решения тригонометрических неравенств является сведение их к простейшим неравенствам типа 
Разберём на примере, как решать такие неравенства.
Пример 1Решите неравенство 
Для решения неравенств с тангенсом и котангенсом полезно понятие о линии тангенсов и котангенсов. Таковыми являются прямые x = 1 и y = 1 соответственно, касающиеся тригонометрической окружности.
 2
|
| Рисунок 3.2.5.1
|
Легко заметить, что если построить луч с началом в начале координат, составляющий угол α с положительным направлением оси абсцисс, то длина отрезка от точки (1; 0) до точки пересечения этого луча с линией тангенсов в точности равна тангенсу угла, который составляет этот луч с осью абсцисс. Аналогичное наблюдение имеет место и для котангенса.
 |
|
Модель 3.6.
Решение тригонометрических неравенств
|
Пример 2Решите неравенство 
Пример 3Решите неравенство 
Ясно также, что если некоторое число 
то 
Следовательно, к концам найденного отрезка решения нужно просто добавить 
Окончательно, получаем, что решениями исходного неравенства будут все 
где 
где 
тогда неравенство примет вид простейшего: 
длиной, равной наименьшему положительному периоду (НПП) тангенса. На этом отрезке с помощью линии тангенсов устанавливаем, что 
Вспоминаем теперь, что необходимо добавить 
поскольку НПП функции 
Возвращаясь к переменной 
Это точка с абсциссой 
По графику видно, что для всех 
график функции лежит ниже прямой 
Следовательно, эти 
