Глава 4. Комбинаторика
Модель 4.3.
Пусть задано некоторое конечное множество из n элементов. Пусть из числа его элементов выбраны k различных штук (k ≤ n), тогда говорят, что произведена выборка объёма k. Если важен порядок, в котором произведена выборка элементов, то говорят об упорядоченной выборке, если порядок не важен, то о неупорядоченной. Упорядоченная выборка объёма k из множества, состоящего из n элементов (k ≤ n), называется размещением из k элементов по n. Неупорядоченная выборка называется сочетанием из k элементов по n.
Выборку элементов удобно иллюстрировать при помощи пронумерованных шаров, находящихся в урне. Таким образом, из урны, в которой изначально содержатся n шаров, каким-либо образом изымаются k шаров. В том случае, если после изъятия из урны очередной шар возвращается в неё, он может быть вытащен повторно. Тогда говорят о размещении с повторением. Если же шар в урну не возвращается, то говорят о размещении без повторения.
Для размещения без повторения
справедлива формула
Доказательство этой формулы следует из того, что первый элемент можно выбрать n различными способами, второй – (n – 1) способом, третий – (n – 2) способами, а k-й – (n – (k – 1)) способом. Произведение этих чисел и составляет число 
Чтобы оценить количество размещений с повторениями, достаточно понять, что каждый из элементов можно выбрать n способами (столькими же, сколькими и первый элемент в предыдущем примере). Всего нужно выбрать k элементов, откуда получается, что число размещений с повторениями составляет
При большом размере n множества это число значительно больше, чем 
В интерактивном режиме вы можете ввести значения чисел n и k, а также способ выборки. Программа автоматически вычислит число размещений соответствующего типа. Нажмите кнопку , чтобы начать анимацию, – чтобы приостановить её и – чтобы вернуть анимацию в исходное состояние.
