Глава 1. Теоретические сведения о функциях

1.3. Числовые функции

1.3.9. Обратная функция

Пусть задана функция y = f (x), Тогда каждому числу соответствует единственное число  Иногда приходится по значению функции y₀ находить значение аргумента x₀, то есть решать уравнение f (x) = y₀  относительно x. Это уравнение может иметь несколько или даже бесконечное количество решений (решениями являются абсциссы всех точек, в которых график y = f (x) пересекается с прямой y = y₀).

Если функция f такова, что каждому значению соответствует только одно значение то эту функцию называют обратимой. Для такой функции уравнение y = f (x) можно при любом y однозначно разрешить относительно x, то есть каждому соответствует единственное значение Это соответствие определяет функцию, которую называют обратной к функции f и обозначают символом f^–1.

Пусть g = f^–1. Тогда:

• D (g) = E (f), E (g) = D (f);
• для любого   g (f (x)) = x,
• для любого   f (g (x)) = x;
• графики функций y = f (x) и y = g (x) симметричны друг другу относительно прямой y = x.

Модель 1.11. Обратные функции

Если функция y = f (x) непрерывна и строго возрастает (строго убывает) на отрезке [a; b], то на отрезке [f (a); f (b)] определена функция x = g (y), обратная к f, непрерывная и строго возрастающая (строго убывающая).

Пусть функции x = f₁ (t) и y = f₂ (t) определены на множестве E, и пусть D – множество значений функции f₁. Если функция f₁ обратима на E и – обратная к ней функция, то на множестве D определена сложная функция которую называют параметрически заданной уравнениями x = f₁ (t) и y = f₂ (t).

Модель 1.12. Параметрически заданные кривые