Построение кривых, заданных параметрически

Задачи с решениямиЗадачи с решениямиВключить/Выключить фоновую музыкуВключить/Выключить звуки событий


Постройте кривую, заданную уравнением

Решение

Выразим x и y из уравнения параметрически. Пусть Тогда Отсюда
Итак, является параметрическим представлением данной кривой.

     

Поскольку функции x (t), y (t) периодичны, достаточно рассмотреть их поведение на промежутке [0; 2π]. Точки являются критическими точками.

Заметим также, что подстановка x вместо x и y вместо y не изменяет уравнение кривой. Отсюда следует, что кривая симметрична относительно координатных осей.

Заполним таблицу.

t 0
x 0 + 1 + 0 –1 0
y 1 + 0 –1 0 + 1
y ±∞ 0 + ±∞ 0 + ±∞
y′′ Не сущ. + Не сущ. Не сущ. Не сущ. + Не сущ.
Прим. Точка возврата Гориз. касат. Точка возврата Гориз. касат. Точка возврата

Кривая построена на рисунке. Эта кривая называется астроидой.



 4 из 4