Задачи с решениями

Тороидальная катушка, намотанная на магнитный сердечник, содержит N = 200 витков. Радиус витков катушки r = 0,5 см, средний радиус тороидального сердечника R = 5,0 см. Кривая намагничивания материала сердечника (т. е. зависимость магнитной индукции B в сердечнике от намагничивающего поля B₀) приведена на рисунке (зеленая кривая).

Аппроксимируя реальную кривую намагничивания с помощью отрезков прямых линий (красная кривая), оцените:

    1)  индуктивность L катушки при B₀ < B_0н (т. е. до насыщения сердечника);

    2)  минимальное значение силы тока I_min в катушке, при котором катушка будет обладать максимальным запасом магнитной энергии;

    3)  максимальную магнитную энергию (W_м)_max, которую можно запасти в катушке.

1. По идеализированной кривой намагничивания находим значение намагничивающего поля B_0н, при котором возникает насыщение сердечника:
   

   B_0н = 2,5 мТл.

   На линейном участке B₀ < B_0н магнитная проницаемость μ материала сердечника постоянна. По графику находим
   

   

   В условии данной задачи радиус r витков катушки много меньше радиуса R сердечника (r << R). Это означает, что магнитное поле можно приближенно считать однородным по сечению катушки. В этом приближении магнитное поле вычисляется по той же формуле, что и магнитное поле длинной прямой катушки.

   Для катушки с сердечником
   

   B = μ₀μIn,
   где I – ток в катушке, n – число витков на единицу длины обмотки. Для тороидальной катушки n = N / 2πR, где N – полное число витков.

   Магнитный поток, пронизывающий все N витков катушки, равен
   

   

   Отсюда получаем выражение для индуктивности L катушки:
   

   

2. Максимальное значение магнитной индукции в сердечнике равно индукции насыщения B_max = B_н = 1,2 Тл. Минимальная сила тока, при которой возникает насыщение сердечника, равна
   

   

3. Найдем теперь максимальную энергию катушки:
   

   

   Следует отметить, что магнитную энергию катушки можно было вычислять, используя понятие объемной плотности магнитной энергии w_м, равной
   

   

   В этом случае максимальная запасенная энергия выражается соотношением
   

   

   Здесь V = πr² · 2πR – объем тороидальной катушки.

2 из 2