Глава 10. Декартовы координаты
10.8. Эллипс и его свойства
В § 7 было получено уравнение фигуры, которую мы назвали эллипсом:
Перейдем в новую систему координат, перенеся начало системы координат в точку 
и повернув оси исходной системы на угол 90°.
В соответствии с формулами преобразования координат выразим старые координаты через новые по формулам:
или
В новой системе координат, которую называют канонической, уравнение эллипса имеет вид
при этом
то есть при k < 1 получим, что a > b > 0. В дальнейшем для удобства будем опускать знак "штрих" и будем вместо x' (y') писать x (y). Таким образом, получим уравнение эллипса в новой системе координат.
Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса.
Рассмотрим свойства эллипса.
Свойство 10.1.
Эллипс пересекает каждую из осей координат в двух точках.
Для определения точек пересечения эллипса с осью Ox нужно решить совместно два уравнения
Отсюда получим x = ±a. Таким образом, точками пересечения эллипса с осью Ox будут точки A (a; 0) и C (–a; 0).
Аналогично, точки пересечения эллипса с осью Oy – B (0; b) и D (0; –b).
|
Точки A, B, C и D называются вершинами эллипса. Отрезок AC называется большой осью эллипса, отрезок BD – малой осью. Числа a и b называют полуосями эллипса. Точки 
и 
где 
называются фокусами эллипса.
Пусть M (x; y) – произвольная точка эллипса. Найдем расстояния от точки M до фокусов эллипса.
Рассмотрим выражение
Здесь мы учли, что координаты (x; y) точки M удовлетворяют уравнению эллипса.
Величину 
называют эксцентриситетом эллипса. Очевидно, для эллипса ε < 1. Поскольку 
то отсюда следует, что a – εx > 0. Поэтому 
Свойство 10.2.
Сумма расстояний от любой точки эллипса до его фокусов есть величина постоянная и равная удвоенной большей полуоси.
Действительно, используя полученные выражения для расстояний от точки эллипса до его фокусов, получим
|
Свойство 10.3.
Эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии.
Свойство 10.4.
Эллипс имеет центр симметрии.
Если координаты точки M (x; y) удовлетворяют уравнению эллипса, то этому же уравнению удовлетворяют и координаты точки N (–x; –y). Точка M симметрична точке N относительно начала координат. Таким образом, эллипс имеет центр симметрии.
|
Центр симметрии эллипса называется центром эллипса.
Свойство 10.5.
Эллипс может быть получен сжатием окружности.
Пусть  – окружность с центром в начале координат и радиуса a. Тогда
Точке  на окружности сопоставим точку  такую, что
Точка  получается сдвигом точки P, при котором абцисса не меняется, а ордината уменьшается в отношении 
Координаты точки 
удовлетворяют уравнению эллипса. В самом деле,
Таким образом, эллипс можно получить из окружности равномерным сжатием к оси Ox, при котором ординаты точек уменьшаются в одном и том же соотношении, равном  Отсюда следует, что форма эллипса зависит от значения отношения  чем меньше это отношение, тем более сжатым будет эллипс, и наоборот, чем больше отношение  тем эллипс будет менее сжатым.
|
В качестве характеристики формы эллипса удобнее пользоваться эксцентриситетом. Так как
то чем больше ε, тем более сжат эллипс.
При малых значениях эксцентриситета эллипс мало отличается от окружности. При ε = 0 эллипс превращается в окружность.
В § 7 мы определили эллипс как множество точек, отношение расстояний от которых до данной точки A и данной прямой l есть величина постоянная и равная числу k.
Рассмотрим, какие координаты имеет точка A и какое уравнение – прямая l в канонической системе координат. Для начала отметим, что в силу введенных ранее обозначений
Тогда
Таким образом, данное в условии исходной задачи число, характеризующее величину отношения расстояний от точки эллипса до точки A и прямой l, есть эксцентриситет эллипса.
Координаты точки 
при переходе в новую систему будут равны:
То есть точка A в новой системе координат имеет те же координаты, что и фокус 
эллипса и поэтому совпадет с ним.
Уравнение прямой в исходной системе координат имело вид 
После замены системы координат получим новое уравнение прямой l
Обозначим 
и покажем, что 
Действительно,
Поскольку для эллипса ε < 1, то 
Прямая x = –d называется директрисой, соответствующей фокусу F1(-c; 0). Наряду с этой директрисой вводят прямую x = d, которая является директрисой, соответствующей фокусу F2(c; 0).
С учетом свойств симметрии эллипса, свойство, с помощью которого мы определили эллипс, в новых терминах можно сформулировать следующим образом: отношение расстояния от любой точки эллипса до одного из его фокусов к расстоянию от этой точки до соответствующей ему директрисы есть величина постоянная и равная эксцентриситету. Вид эллипса в канонической системе координат и его директрисы приведены на рис. 10.8.1.
 1
|
| Рисунок 10.8.1
|
принадлежит эллипсу, то точки 
и 
также принадлежат ему, так как их координаты удовлетворяют уравнению эллипса. Точка 
симметрична точке 
– относительно 
