Пусть A (x₁; y₁), B (x₂; y₂), C (x₃; y₃) – данные точки.

Вектор имеет координаты вектор имеет координаты Следовательно, вектор имеет координаты Вектор имеет такие же координаты. По теореме 11.5  Теорема доказана.

1

Рисунок 11.2.1. Правило треугольника

2

Рисунок 11.2.2. Построение суммы векторов по правилу треугольника

Замечание. Теорема 11.6 дает следующий способ построения суммы произвольных векторов и Надо от конца вектора отложить вектор равный вектору Тогда вектор, начало которого совпадает с началом вектора а конец – с концом вектора будет суммой векторов и

Построим векторы и равные и соответственно (O – начало координат). Пусть и – координаты вектора Тогда координатами точки A будут числа и координатами точки B – числа и Уравнение прямой OA имеет вид: αx + βy = 0. Так как уравнению удовлетворяют координаты точки A (a₁; a₂), то ему удовлетворяют и координаты точки B (λa₁; λa₂). Отсюда следует, что точка B лежит на прямой OA. Координаты c₁ и c₂ любой точки C, лежащей на луче OA, имеют те же знаки, что и координаты a₁ и a₂ точки A, и координаты любой точки, которая лежит на луче, дополнительном к OA, имеют противоположные знаки.

Поэтому, если λ > 0, то точка B лежит на луче OA, а следовательно, векторы и одинаково направлены. Если λ < 0, то точка B лежит на дополнительном луче и векторы и противоположно направлены.

Абсолютная величина вектора равна Теорема доказана.

4

Рисунок 11.2.4

Пусть и одинаково направлены. Векторы и одинаково направлены и имеют одну и ту же абсолютную величину Значит, они равны:   Если векторы и противоположно направлены, аналогично заключаем, что   Теорема доказана.

Пусть A и B – начало и конец вектора Проведем через точки A и B прямые, параллельные векторам и Они пересекутся в некоторой точке C. Имеем Так как векторы и коллинеарны, то так как векторы и коллинеарны, то Таким образом,

5

Рисунок 11.2.5. К теореме 11.9

Для доказательства единственности представления допустим, что в условиях теоремы такое представление не единственно. То есть наряду с числами λ и μ такими, что существуют числа и такие, что и при этом верно хотя бы одно из соотношений   Пусть для определенности Тогда из равенства имеем На основании теоремы 11.7 и замечания 11.1 получаем, что векторы и коллинеарны. Но это противоречит условию неколлинеарности этих векторов. Показанное противоречие доказывает единственность представления. Теорема доказана.

Пусть и – данные векторы и φ – угол между ними. Имеем:
или
Скалярное произведение таким образом, выражается через длины векторов   и т. е. систему координат можно выбрать любую, а величина скалярного произведения не изменится. Выберем систему координат так, чтобы начало координат совпало с началом вектора а сам вектор лежал на положительной полуоси оси Ox. Тогда координатами вектора будут числа и 0, а вектора – и По определению

6

Рисунок 11.2.6. Скалярное произведение двух векторов

Так как координатные векторы отличны от нуля и неколлинеарны, то любой вектор допускает разложение по этим векторам в силу теоремы 11.9 Найдем λ и μ. Умножим обе части равенства скалярно на вектор Имеем С учетом того, что и ортогональны, имеем Аналогично, умножая равенство на получим или Таким образом, для любого вектора получается разложение Так как в силу теоремы 11.4 и теоремы 11.5 координаты однозначно определяют вектор, то разложение единственно. Теорема доказана.