4.6. Пропорциональные отрезки и средняя линия треугольника

Проведем прямую BC. Углы ABC и BCD равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD и секущей BC, а углы ACB и CBD равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AC и BD и секущей BC. Тогда по первому признаку равенства треугольников треугольники ABC и DCB равны. Отсюда следует, что AC = BD и AB = CD. Лемма доказана.

Рисунок 4.6.2.

Теорема Фалеса

Пусть – заданный угол, а и – попарно параллельные прямые и Докажем, что Проведем через точку прямую параллельную прямой По лемме 4.1 и с учетом условия теоремы Кроме того, – как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых и секущей а как вертикальные. По второму признаку равенства треугольников Отсюда Теорема доказана.

Пусть [DE] – средняя линия в треугольнике ABC, т.е. AE = EC, CD = BD. Проведем через точку D прямую a, параллельную стороне AB. По теореме 4.11 прямая a пересекает сторону AC в ее середине и, следовательно, содержит среднюю линию DE. Значит, средняя линия DE параллельна стороне AB. Проведем среднюю линию DF. Она параллельна стороне AC. Тогда по лемме 4.1 отрезок ED равен отрезку AF и равен половине отрезкаAB. Теорема доказана.

Рисунок 4.6.3.

Средняя линия треугольника

Пусть стороны угла O пересекаются параллельными прямыми в точках B, D и A, C соответственно.

Теоремой утверждается, что

Разделим отрезок OD на n равных частей. Пусть δ₁ – длина отрезка деления. Тогда OD = n · δ₁.

Рисунок 4.6.4.

К теореме 4.13

Возможны два случая.

Существует такое n, при котором C – точка деления. То есть существует m < n такое, что OC = m δ₁. Проведем через точки деления отрезка OD прямые, параллельные прямой BD. По теореме Фалеса эти прямые разбивают отрезок OB на равные отрезки некоторой длины . Тогда , и т. е.
Ни при каком n, C не является точкой деления. Допустим, или без ограничения общности Отложим на луче OD отрезок Разобьем OD на n равных частей и проведем через точки разбиения прямые, параллельные BD. При достаточно большом n на отрезке C₁C будет точка деления. Обозначим ее через X, а соответствующую точку на стороне OB – через Y.