Задачи с решениями

Из точки сферы радиуса 50 см проведены три взаимно перпендикулярные хорды, длины которых относятся как 12 : 15 : 16. Найти длины этих хорд.

На рисунке MA = 12x, MB = 15x и MC = 16x. Рассмотрим прямоугольный параллелепипед MADBCA₁D₁B₁, для которого эти отрезки являются измерениями. Известно, что параллелепипед имеет центр симметрии – середину любой диагонали. Поэтому середина диагонали MD₁ – точка O – является центром сферы, проходящей через все вершины параллелепипеда. MD₁ = 2R = 100 см.

По теореме о квадрате диагонали прямоугольного параллелепипеда (12x)² + (15x)² + (16x)² = 100², откуда 625x² = 10000 и x = 4. Теперь имеем: MA = 48 см, MB = 60 см, MC = 64 см.

Ответ: 48, 60 и 64 см.

8 из 18