Задачи с решениями

Шаг 1

Изображаем данную пирамиду и маркируем рисунок. По условию AB = BC = CA = a. Грань PAB перпендикулярна плоскости основания. Поэтому высота PO пирамиды лежит в грани PAB. Возникает вопрос: где находится данный угол γ?

Шаг 2

Проведем перпендикуляр из точки O к стороне BC – отрезок OK (OK || AD, где AD – медиана, биссектриса и высота ΔABC). По теореме о трех перпендикулярах PKBC. Значит, PKO – угол между гранью PBC и плоскостью основания. По условию PKO = γ (0° < γ < 90°). Аналогично проводим медиану BE и отрезок OM || BE (OMAC). Тогда PMO = γ.

Шаг 3

Известно, что объем пирамиды V находится по формуле:  (1), где S₀ – площадь основания, H – высота пирамиды.

 – площадь правильного треугольника со стороной a. Остается найти высоту.

Шаг 4

Треугольники POK и POM равны, как прямоугольные треугольники с общим катетом PO и равными острыми углами. Значит, OK = OM. Легко видеть, что треугольники BOK и AOM равны, а значит,

Шаг 5

Из прямоугольного треугольника POK имеем: H = PO = OK·tg γ (2).

Поскольку O – середина стороны AB, то OK – средняя линия ΔABD. Значит,

Из формулы (2) получаем:

Шаг 6

Теперь из формулы (1) имеем:

Ответ: