Глава 2. Элементарные функции и их графики

2.3. Тригонометрические функции

2.3.4. Обратные тригонометрические функции

График 2.3.4.1. График функции y = arcsin x.

График 2.3.4.2. График функции y = arccos x.

Арксинусом x называют такое число , что sin t = x. Из определения следует, что

При помощи арксинуса решение уравнения sin x = t записывается следующим образом:

или t = (–1)n arcsin x + πn,

Функция y = arcsin x определена и непрерывна на отрезке [–1; 1]. Ее областью значений является отрезок Она обратна функции y = sin x, рассматриваемой на отрезке и поэтому монотонно возрастает. Функция y = arcsin x является нечетной.

Арккосинусом x называют такое число 0 ≤ t ≤ π, что cos t = x. Из определения следует, что

При помощи арккосинуса решение уравнения cos x = t записывается следующим образом:

t = ±arccos x + 2πn,

Функция y = arccos x определена и непрерывна на отрезке [–1; 1]. Ее областью значений является отрезок [0; π]. Она обратна функции y = cos x, рассматриваемой на отрезке [0; π], и поэтому монотонно убывает на области определения. Функция y = arccos x не является ни четной, ни нечетной.

Арктангенсом x называют такое число , что tg t = x. При помощи арктангенса решение уравнения tg x = t записывается следующим образом:

t = arctg x + πn,

Функция y = arctg x является нечетной.

Арккотангенсом x называют такое число 0 ≤ t ≤ π, что ctg t = x. При помощи арккотангенса решение уравнения ctg x = t записывается следующим образом:

t = arcctg x + πn,

Функция y = arcctg x не является ни четной, ни нечетной.

Функции y = arctg x и y = arcctg x определены и непрерывны на всей числовой оси. Их областями значений являются, соответственно, интервалы и (0; π). Арктангенс монотонно возрастает, а арккотангенс монотонно убывает на всей области определения. Функциями, обратными к данным, являются соответственно tg x на и ctg x на (0; π).

Модель 2.13. Простейшие тригонометрические уравнения

Из определения обратных тригонометрических функций следуют некоторые тождества.