Глава 3. Дифференцирование и интегрирование функций

3.1. Производная

3.1.11. Частные производные

В природе иногда встречаются процессы, в которых исследуемая величина является функцией двух, трех и т. д. других величин. Так, в термодинамике температура идеального газа T зависит от давления p и объема V. Если каждому набору аргументов   …, ставится в соответствие число  то говорят, что задана функция n переменных

y = f (x1, x2, …, xn).

Число A называется пределом функции f (x₁, x₂, …, x_n) по подмножеству M области определения функции при (x₁; x₂; …; x_n) → (a₁; a₂; …; a_n), если для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что на пересечении δ-окрестности точки A (кроме, быть может, самой точки A) с подмножеством M для всех x = (x₁; x₂; …; x_n) выполняется неравенство

|f (x) – A| < ε.

В этом случае пишут

Пусть функция двух переменных f (x, y) определена в некоторой окрестности точки (x₀; y₀). Пределом функции f (x, y) в точке (x₀; y₀) по направлению l = (cos α, sin α) называется число
где L – луч, выходящий из точки (x₀; y₀) в направлении l.

Пусть функция f (x₁, x₂, …, x_n) определена в окрестности точки a = (a₁; a₂; …; a_n). Рассмотрим функцию одной переменной f (x₁, a₂, …, a_n). Она может иметь производную по своей переменной x₁. Такая производная по определению называется частной производной  в точке

Аналогично определяются частные производные функции f по другим переменным.

Поскольку при вычислении частных производных все переменные, кроме одной, фиксируются, правила вычисления частной производной точно такие же, как и обычной производной.

Функция f (x₁, x₂, …, x_n) называется дифференцируемой в точке a = (a₁; a₂; …; a_n), если она определена в некоторой окрестности этой точки и существуют такие числа A₁, A₂, …, A_n, что
Функция f (x₁, x₂, …, x_n) дифференцируема в точке a тогда и только тогда, когда в некоторой окрестности a функция f (x) может быть представлена в следующем виде:
где функции непрерывны в точке a.

Если функция дифференцируема в точке a, то в окрестности a существуют все частные производные и
Обратное, вообще говоря, неверно.

Пусть функция f (x, y, z) дифференцируема в точке A (x₀; y₀; z₀). Назовем градиентом функции вектор

Градиент функции обозначается как Геометрически направление градиента функции совпадает с направлением наискорейшего возрастания величины, задаваемой этой функцией, а его модуль равен частной производной этой функции по данному направлению. В физике градиент используется, например, для формулы связи потенциальной энергии и силы:

Например, градиент однородного поля U = kx, изменяющегося только по оси OX, равен

Еще раз подчеркнем, что градиент – векторная функция от скалярного аргумента.