Главная   Онлайн учебники   База репетиторов России   Товары для школы   Подготовка к ЕГЭ онлайн


Глава 3. Дифференцирование и интегрирование функций

3.1. Производная

Назад Вперед
Назад Вперед

3.1.11. Частные производные

В природе иногда встречаются процессы, в которых исследуемая величина является функцией двух, трех и т. д. других величин. Так, в термодинамике температура идеального газа T зависит от давления p и объема V. Если каждому набору аргументов   …, ставится в соответствие число  то говорят, что задана функция n переменных
y = f (x1x2, …, xn).

Число A называется пределом функции f (x1x2, …, xn) по подмножеству M области определения функции при (x1x2; …; xn) → (a1a2; …; an), если для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что на пересечении δ-окрестности точки A (кроме, быть может, самой точки A) с подмножеством M для всех x = (x1x2; …; xn) выполняется неравенство
|f (x) – A| < ε.

В этом случае пишут

Пусть функция двух переменных f (xy) определена в некоторой окрестности точки (x0y0). Пределом функции f (xy) в точке (x0y0) по направлению l = (cos α, sin α) называется число
где L – луч, выходящий из точки (x0y0) в направлении l.

Пусть функция f (x1x2, …, xn) определена в окрестности точки a = (a1a2; …; an). Рассмотрим функцию одной переменной f (x1a2, …, an). Она может иметь производную по своей переменной x1. Такая производная по определению называется частной производной  в точке

Аналогично определяются частные производные функции f по другим переменным.

Поскольку при вычислении частных производных все переменные, кроме одной, фиксируются, правила вычисления частной производной точно такие же, как и обычной производной.

Функция f (x1x2, …, xn) называется дифференцируемой в точке a = (a1a2; …; an), если она определена в некоторой окрестности этой точки и существуют такие числа A1A2, …, An, что
Функция f (x1x2, …, xn) дифференцируема в точке a тогда и только тогда, когда в некоторой окрестности a функция f (x) может быть представлена в следующем виде:
где функции непрерывны в точке a.

Если функция дифференцируема в точке a, то в окрестности a существуют все частные производные и
Обратное, вообще говоря, неверно.

 

Пусть функция f (xyz) дифференцируема в точке A (x0y0z0). Назовем градиентом функции вектор

Градиент функции обозначается как Геометрически направление градиента функции совпадает с направлением наискорейшего возрастания величины, задаваемой этой функцией, а его модуль равен частной производной этой функции по данному направлению. В физике градиент используется, например, для формулы связи потенциальной энергии и силы:

Например, градиент однородного поля U = kx, изменяющегося только по оси OX, равен

Еще раз подчеркнем, что градиент – векторная функция от скалярного аргумента.


Назад Вперед
Наверх

Включить/Выключить фоновую музыкуВключить/Выключить звуки событий

Главная   Онлайн учебники   База репетиторов России   Товары для школы   Подготовка к ЕГЭ онлайн