Задачи с решениями

Конденсатор емкостью C = 1,0 мкФ последовательно с резистором сопротивлением R = 5 кОм подключен к генератору переменного напряжения  = ₀ cos ωt (см. рис.). Круговая частота ω = 200 с^–1. Определите:

    1)  отношение V₀ / ₀ амплитуды V₀ напряжения на конденсаторе к амплитуде ₀ напряжения генератора;

    2)  сдвиг фаз между напряжением генератора и напряжением на конденсаторе.

Запишем закон Ома для цепи переменного тока:

JR + V = ₀ cos ωt.

Здесь J и V – мгновенные значения тока в цепи и напряжение на конденсаторе. Принимая во внимание, что где q – заряд конденсатора, получим

Мы получили линейное дифференциальное уравнение, описывающее процессы, происходящие в RC-цепях под действием синусоидального напряжения генератора. Будем искать решение в виде V = V₀ cos (ωt + φ). Подставим это выражение в дифференциальное уравнение:

–ωRCV₀ sin (ωt + φ) + V₀ cos (ωt + φ) = ₀ cos ωt.

Полученное трансцендентное уравнение проще всего решать графически с помощью векторной диаграммы. Первый член этого уравнения по формулам тригонометрии можно преобразовать к виду:

Отсюда следует, что колебания, описываемые первым и вторым членами в левой части уравнения, сдвинуты по фазе на угол π / 2. На векторной диаграмме эти колебания должны изображаться векторами, ориентированными перпендикулярно друг другу, и, следовательно, векторная диаграмма должна иметь вид прямоугольного треугольника (см. рис.).

1. 
   

   

   Из данных в условии задачи следует, что ωRC = 1, следовательно
   

   

2. Фазовый сдвиг φ между напряжением генератора и напряжением на конденсаторе определяется соотношением
   

   tg φ = – ωRC = –1.
   
   
   φ = – π / 4.

   Напряжение на конденсаторе отстает по фазе от напряжения генератора на угол π / 4.

1 из 2