Задачи с решениями

Проанализировать взаимное расположение прямых a₁x + b₁y + c₁ = 0, a₂x + b₂y + c₂ = 0.

Ввиду замечания к доказательству теоремы 11.5 эти уравнения определяют прямые, если a₁² + b₁² > 0, a₂² + b₂² > 0. Пусть для определенности выразим y из первого уравнения и подставим во второе:  и   или Пусть Тогда решение последнего уравнения единственно, и   и далее   Таким образом, при условии, что a₂b₁ – a₁b₂ ≠ 0, существует единственная точка A(x₀; y₀), координаты которой удовлетворяют обоим уравнениям, и, следовательно, эти прямые пересекаются в точке А. Пусть теперь Это значит,   если т. е.   то никакое число x не является решением уравнения (*), и, следовательно, исходные уравнения не имеют общих решений. Это значит, что прямые не пересекаются, т. е. они параллельны. Таким образом, мы получили следующий признак параллельности двух прямых, заданных исходными уравнениями. Если коэффициенты при переменных пропорциональны, т. е.   а отношение свободных коэффициентов не равно отношению соответствующих коэффициентов, то уравнения определяют параллельные прямые. Пусть теперь   Тогда любая точка x – является решением уравнения (*) и в силу произвольности x связь между x и y определяется одним из исходных уравнений, потому что другое уравнение пропорционально первому. В этом случае каждое уравнение совокупности исходных уравнений задает одну и ту же прямую.

1 из 24