Задачи с решениями

Построить правильный шестиугольник, вписанный в данную окружность.

Пусть шестиугольник ABCDEF вписан в данную окружность w (O; R). Соединим вершины шестиугольника, как указано на первом рисунке. Так как исходный шестиугольник правильный, то AB = BC = CD = ... = FA, A = B = ... = F. Поэтому, например, треугольник BCD равнобедренный. Тогда, если известны вершины B и D шестиугольника, то вершина C лежит на пересечении окружности с серединным перпендикуляром к отрезку BD. Следовательно, построение исходного правильного шестиугольника, вписанного в данную окружность, можно свести к построению правильного треугольника BDF, вписанного в данную окружность (треугольники BCD, DEF и FAB равны по первому признаку, и, следовательно, BD = DF = BF, и ΔBDF равносторонний). Для построения правильного треугольника воспользуемся тем, что медиана DK является и высотой, проходит через центр O окружности и делится этой точкой в отношении OD : OK = 2:1. Но OD = R, следовательно,

Построение. Пусть w (O; R) – данная окружность (см. второй рисунок). Проведем через точку O произвольную прямую a, C и N – точки пересечения a с w (O; R). Построим серединный перпендикуляр к отрезку ON. Пусть A и B – точки пересечения его с данной окружностью. Треугольник ABC – искомый равносторонний треугольник, вписанный в данную окружность.

1 из 5