3.2. Перпендикулярность прямой и плоскости

Глава 3. Перпендикулярность прямых и плоскостей

3.2. Перпендикулярность прямой и плоскости

Определение 3.3.

Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой из этой плоскости.

Теорема 3.1. Признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Если прямая перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Доказательство

Сформулируем некоторые теоремы, устанавливающие связь между параллельностью и перпендикулярностью в пространстве.

Теорема 3.2.

Плоскость, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой.

Чертеж 3.2.2

Теорема 3.3.

Две прямые, перпендикулярные одной плоскости, параллельны между собой.

Теорема 3.4.

Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и другой.

Теорема 3.5.

Две плоскости, перпендикулярные одной прямой, параллельны между собой.

Чертеж 3.2.3

Докажите эти теоремы самостоятельно, используя такое свойство: если векторы коллинеарные и то

Определение 3.4.

Перпендикуляром, проведенным из данной точки на данную плоскость, называется отрезок прямой, перпендикулярной данной плоскости, который соединяет данную точку с точкой плоскости.

Чертеж 3.2.4

Пусть AO – перпендикуляр к плоскости α (чертеж 3.2.4), O – основание перпендикуляра. Длина этого перпендикуляра AO называется расстоянием от точки A до плоскости α. Отрезок, соединяющий точку A с любой точкой плоскости, отличной от O, называется наклонной (AB – наклонная, B – основание наклонной, BO – проекция наклонной на плоскость α, то есть BO = Пр_αAB).

Теорема 3.6.

Если из одной точки вне плоскости проведены к ней перпендикуляр и наклонные, то

длина перпендикуляра меньше длины любой наклонной;
наклонные с равными проекциями равны;
из двух наклонных большую длину имеет та, у которой больше проекция.

Теорема 3.7. О трех перпендикулярах.

Для того, чтобы прямая на плоскости была перпендикулярна наклонной, необходимо и достаточно, чтобы эта прямая была перпендикулярна ортогональной проекции наклонной на плоскость.

Доказательство

Глава 3. Перпендикулярность прямых и плоскостей

3.2. Перпендикулярность прямой и плоскости window.top.document.title = "3.2. Перпендикулярность прямой и плоскости";

3.2. Перпендикулярность прямой и плоскости