Задачи с решениями

В правильной четырехугольной пирамиде центры вписанного и описанного шаров совпадают (см. чертеж). Двугранный угол при ребре основания равен α. Доказать, что cos α = tg (π/8).

Пусть O' – центр вписанного и описанного шаров правильной четырехугольной пирамиды PABCD, O'E – перпендикуляр, опущенный из точки O' на грань PBC: OO' = O'E = r (радиус вписанного шара). Сечения описанного шара, равноудаленные от его центра, равны. Поэтому квадрат ABCD и треугольник PBC вписаны в равные окружности. Следовательно, BEC = BOC = π/2 и BPC = π/4.

Проведем апофему PF боковой грани PBC. Поскольку CF = OF, то  или cos α = tg (π/8), что и требовалось доказать.

14 из 18