Докажем, что любые идущие подряд точки лежат в одной плоскости. Рассмотрим четыре подряд идущие точки A₁, A₂, A₃ и A₄. Пирамиды SA₁A₂A₃ и SA₂A₃A₄ равны, поскольку их можно совместить, совместив ребра SA₂ и SA₃ (берутся, разумеется, ребра разных пирамид) и двугранные углы при этих ребрах. Аналогично можно показать, что равны пирамиды SA₁A₃A₄ и SA₁A₂A₄, поскольку все их ребра равны. Отсюда следует равенство

Из последнего равенства следует, что объем пирамиды A₁A₂A₃A₄ равен нулю, то есть указанные четыре точки лежат в одной плоскости. Значит, все n точек лежат в одной плоскости, и в n-угольнике A₁A₂ … A_n равны все стороны и углы. Значит, он правильный, и лемма доказана.

Из определения правильного многогранника следует, что его гранями могут быть лишь треугольники, четырехугольники и пятиугольники. Действительно, докажем например, что грани не могут быть правильными шестиугольниками. По определению правильного многогранника, в каждой его вершине должны сходиться не менее трех граней. Однако, в правильном шестиугольнике углы равны 120°. Получается, что сумма трех плоских углов выпуклого многогранного угла равна 360°, а это невозможно, так как эта сумма всегда меньше 360°. Тем более грани правильного многогранника не могут оказаться многоугольниками с большим числом сторон.

Выясним, сколько граней может сходиться в вершине правильного многогранника. Если все его грани – правильные треугольники, то к каждой вершине могут прилегать не более пяти треугольников, так как иначе сумма плоских углов при этой вершине будет не менее 360°, что, как мы убедились, невозможно. Итак, если все грани правильного многогранника – правильные треугольники, то к каждой вершине прилегают три, четыре или пять треугольников. Аналогичными рассуждениями убеждаемся, что в каждой вершине правильного многогранника, грани которого – правильные четырехугольники и пятиугольники, сходятся ровно три ребра.

Докажем теперь, что существует только один многогранник заданного типа с фиксированной длиной ребра. Рассмотрим, например, случай, когда все грани – правильные пятиугольники. Предположим противное: пусть существует два многогранника, все грани которых – правильные пятиугольники со стороной a, а все двугранные углы в каждом многограннике равны между собой. Отметим, что необязательно все двугранные углы одного многогранника равны двугранным углам другого многогранника: именно это мы сейчас и докажем.

2

Рисунок 8.1.2

Как мы показали, из каждой вершины каждого многогранника выходит три ребра. Пусть из вершины А одного многогранника выходят ребра AB, AC и AD, а из вершины A₁ другого – ребра A₁B₁, A₁C₁ и A₁D₁. ABCD и A₁B₁C₁D₁ – правильные треугольные пирамиды, так как у них равны ребра, выходящие из вершин A и A₁, и плоские углы при этих вершинах. Отсюда следует, что двугранные углы одного многогранника равны двугранным углам другого. Значит, если мы совместим пирамиды ABCD и A₁B₁C₁D₁, то совместятся и сами многогранники. Значит, если существует правильный многогранник, все грани которого – правильные пятиугольники со стороной a, то такой многогранник единственный.

Аналогично рассматриваются остальные многогранники. В том, случае, когда все грани – треугольники и к каждой вершине примыкают четыре или пять треугольников, следует воспользоваться леммой 8.1. Из нее следует, что концы ребер, выходящих из одной вершины, лежат в одной плоскости и служат вершинами правильного четырех- и пятиугольника. Теорема доказана.