Глава 1. Арифметика

1.1.

1.1.4.

Система счисления – это совокупность приёмов и правил для записи чисел цифровыми знаками. Системы счисления делятся на позиционные и непозиционные. Позиционной называется система счисления, в которой используется определённое число знаков для обозначения чисел, но значение каждого символа зависит от того, как этот символ расположен по отношению к другим символам в том же числе. Непозиционной называется система счисления, в которой используется определённое число знаков для обозначения чисел, но значение каждого символа не зависит от того, как этот символ расположен по отношению к другим символам в том же числе, и всегда одно и то же.

В процессе развития человеческой цивилизации люди использовали различные системы счисления, однако самой удобной для практических нужд оказалась десятичная система счисления. Разумеется, во многом это было связано с физиологическими особенностями человеческого тела; в самом деле, ведь у человека на руках десять пальцев. Конечно же, не нужно думать, что другие системы счисления совсем не используются. Например, для различных машинных вычислений необыкновенно эффективны вычисления в двоичной системе счисления. Познакомимся же с принципом записи числа в позиционной системе счисления.

1

Рисунок 1.1.4.1. В разное время арабские цифры выглядели по-разному

Любое натуральное число n может быть представлено в q-ичной системе счисления: (1) где q – основание системы счисления, a0, a1, ..., ak – числа, равные 0, 1, ..., q – 1, причём ak ≠ 0.

В частности, десятичная система счисления основана на представлении чисел в виде:

(2)

где a₀, a₁, ..., a_k – числа от 0 до 9, причём a_k ≠ 0. Если справедливо последнее соотношение, то число n записывают коротко так:
или просто
Две последние записи обозначают одно и тоже и применяются одинаково часто.

Для того, чтобы перевести число, записанное в q-ичной системе счисления, в десятичную систему счисления, нужно просто провести все вычисления в формуле (1). Для того, чтобы перевести число из десятичной системы счисления в q-ичную, можно попытаться представить его в виде (1).

Для того чтобы перевести число, записанное в десятичной системе, в любую q-ичную систему счисления, можно использовать следующее наблюдение. Перепишем формулу (1) в виде:
Отсюда следует, что есть остаток от деления числа n на q. Совершенно аналогично, есть остаток от деления числа на q. Понятно, что так можно найти все числа a_k.

Пример 2

Записать число 4784 в восьмеричной системе счисления.

Показать решение

2 Рисунок 1.1.4.2. Перевод числа 4784 в восьмеричную систему счисления Ответ.