Глава 2. Алгебраические выражения

2.1.

2.1.3.

Часто бывает полезно преобразовать многочлен так, чтобы он был представлен в виде произведения нескольких сомножителей. Такое тождественное преобразование называется разложением многочлена на множители. В этом случае говорят, что многочлен делится на каждый из этих сомножителей. При разложении многочленов на множители применяют три основных приёма: вынесение множителя за скобку, использование формул сокращённого умножения и способ группировки.

1. Вынесение множителя за скобку. Из распределительного закона непосредственно следует, что ac + bc = c(a + b). Этим можно воспользоваться для вынесения множителя за скобки.
   Пример 1

   Разложить многочлен на множители 12y³ – 20y².

   Показать решение

   Имеем: 12y3 – 20y2 = 4y2 · 3y – 4y2 · 5 = 4y2(3y – 5). Ответ. 4y2(3y – 5).

   
   
2. Использование формул сокращённого умножения. Формулы сокращённого умножения позволяют довольно эффективно представлять многочлен в форме произведения.
   Пример 2

   Разложить на множители многочлен x⁴ – 1.

   Показать решение

   Имеем: x4 – 1 = (x2)2 – 12 = (x2 – 1)(x2 + 1) = (x2 – 12)(x2 + 1) = (x + 1)(x – 1)(x2 + 1). Ответ. (x + 1)(x – 1)(x2 + 1).

   
   
3. Способ группировки. Этот способ заключается в том, что слагаемые многочлена можно сгруппировать различными способами на основе сочетательного и переместительного законов. На практике он применяется в тех случаях, когда многочлен удается представить в виде пар слагаемых таким образом, чтобы из каждой пары можно было выделить один и тот же множитель. Этот общий множитель можно вынести за скобку и исходный многочлен окажется представленным в виде произведения.
   Пример 3

   Разложить на множители многочлен x³ – 3x²y – 4xy + 12y².

   Показать решение

   Сгруппируем слагаемые следующим образом: x3 – 3x2y – 4xy + 12y2 = (x3 – 3x2y) – (4xy – 12y2). В первой группе вынесем за скобку общий множитель x2, а во второй − 4y. Получаем: (x3 – 3x2y) – (4xy – 12y2) = x2(x – 3y) – 4y(x – 3y). Теперь общий множитель (x – 3y) также можно вынести за скобки: x2(x – 3y) – 4y(x – 3y) = (x – 3y)(x2 – 4y). Ответ. (x – 3y)(x2 – 4y).