Глава 2. Алгебраические выражения

2.1. Многочлены

2.1.4. Квадратный трёхчлен

Общая теория многочленов многих переменных далеко выходит за рамки школьного курса. Поэтому мы ограничимся изучением многочленов одной действительной переменной, да и то в простейших случаях. Рассмотрим многочлены одной переменной, приведённые к стандартному виду.

	Многочлен ax + b, где  a, b − числа, x − переменная, называется многочленом первой степени.

	Многочлен где  a, b, c − числа, x − переменная, называется многочленом второй степени (квадратным трёхчленом, квадратичной функцией).

	Многочлен где  a, b, c, d − числа, x − переменная, называется многочленом третьей степени.

	Вообще, многочлен  Pn(x) = anxn + an – 1xn – 1 + an – 2xn – 2 + ... + a1x + a0, где   − числа, x − переменная, называется многочленом n-ной степени. Традиционно называется старшим коэффициентом, а − свободным членом многочлена.

В дальнейшем мы будем рассматривать многочлены с действительными коэффициентами.

Модель 2.1. Степенная функция

	Действительное число a называется корнем многочлена Pn (x), если Pn (a) = 0.

Корень многочлена первой степени легко угадывается: В самом деле:

Корни квадратного трехчлена можно найти, если воспользоваться так называемым методом выделения полного квадрата. Его суть проще всего увидеть на примере. Выполним следующие преобразования квадратного трехчлена:
Выражение D = b² – 4ac называется дискриминантом квадратного трехчлена. Продолжим преобразования в предположении, что D ≥ 0:
Воспользуемся теперь формулой сокращённого умножения для разности квадратов.

Обозначим и Тогда последнее разложение квадратного трехчлена имеет вид:

ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2).

Отсюда непосредственно видно, что числа x₁ и x₂ являются корнями квадратного трехчлена ax² + bx + c. Полученная формула ввиду своей важности называется формулой разложения квадратного трехчлена на множители.

Квадратный трехчлен раскладывается на множители: ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2), где и   в том случае, если D ≥ 0. Если D < 0, то такое разложение на множители невозможно и квадратный трехчлен ax2 + bx + c не имеет действительных корней.

Итак, установлено, что если D ≥ 0, то квадратный трехчлен имеет два корня (при D = 0 они совпадают). Если же D < 0, то трехчлен не имеет действительных корней.

Несмотря на то, что в дальнейшем, рассматривая многочлены, мы будем искать только действительные корни, сделаем в этом разделе небольшое отступление и покажем, что у квадратного трехчлена при любом D существуют два, в общем случае комплексных, корня. Аналогично, у любого многочлена степени n на множестве комплексных чисел есть n корней, некоторые из них могут совпадать.

Пользуясь понятием комплексного числа как расширения понятия числа действительного, можно найти корни квадратного трехчлена и при D < 0. Итак, на множестве комплексных чисел квадратное уравнение:
всегда имеет два комплексных корня:

Очевидно, что при условии, что a, b, c – действительные числа, корнями квадратного трехчлена могут быть: два различных действительных числа; одно действительное число; сопряженные комплексные числа.

Для того чтобы установить одну важную теорему, касающуюся квадратного трехчлена, вычислим следующие комбинации корней этой функции:

Итак, нами доказана следующая теорема, принадлежащая великому французскому математику Виету.

Теорема Виета Если квадратный трёхчлен где имеет корни, то справедливы следующие соотношения: