Глава 2. Алгебраические выражения

2.4.

2.4.2.

Прежде всего, получим формулы, по которым тригонометрические функции углов вида можно выражать через тригонометрические функции угла α. Эти формулы называются формулами приведения.

1

Рисунок 2.4.2.1

Отложим от положительного направления оси абсцисс угол α (см. рис. 2.4.2.1). Отразим точку A, отвечающую этому углу, относительно прямой y = x. Пусть она при отражении перейдёт в точку B. Так как координатные оси тоже симметричны относительно прямой y = x, то угол между осью ординат и радиус-вектором равен α.

Несложно сообразить, что угол между положительным направлением оси абсцисс и радиус-вектором равен Пусть координаты радиус-вектора будут (x; y), а координаты радиус-вектора будут (x'; y'). Так как при отражении относительно прямой y = x ось абсцисс переходит в ось ординат, то абсцисса радиус-вектора станет ординатой радиус-вектора и наоборот. Следовательно, x = y', y = x'. Но координаты x и y можно найти с помощью угла α: x = cos α, y = sin α. Аналогичные формулы связывают координаты радиус-вектора

Так как x = y' и y = x', то получаем:

Рассмотрим радиус-вектор угол между которым и осью абсцисс равен –α. Очевидно, что координаты этого радиус-вектора равны (x; –y). Но абсцисса и ордината этого вектора есть синус и косинус угла –α. Следовательно,

Отсюда легко получить, что

Последние равенства означают, что функции синус, тангенс и котангенс − нечётные, а функция косинус − чётная.

Заменим в формулах и угол α на –α. Имеем

Итак, доказано, что

Выполним следующие преобразования:

Итак,

Аналогично доказываются формулы:

Из последних формул следует, что

Учтём теперь, что

Тогда из вышеприведённых формул следует:

Запишем все формулы приведения в виде таблицы.

Таблица 2.4.2.1

Обратимся снова к тригонометрической окружности.

2

Рисунок 2.4.2.2

Пусть точка A является концом радиус-вектора, отвечающего углу α. Пусть также OA = 1. Построим прямоугольный треугольник AOC. Применяя к этому треугольнику теорему Пифагора, получаем:

Но OA = 1,  OC = cos α,  CA = sin α. Значит, непосредственным следствием теоремы Пифагора является равенство

Это равенство называется основным тригонометрическим тождеством.

Отсюда следует, что

Знак + или − выбирается в зависимости от того, в какой четверти лежит угол α.

Разделим основное тригонометрическое тождество на Получим:

Разделим основное тригонометрическое тождество на Получим:

Из определений тангенса и котангенса следует:

3

Рисунок 2.4.2.3

Для вывода формул сложения для тригонометрических функций рассмотрим тригонометрическую окружность и два радиус-вектора и отвечающих углам α и –β (см. рис. 2.4.2.3).

Координаты этих векторов по определению тригонометрических функций равны: Поскольку это радиус-векторы, то их длины равны 1. Вычислим скалярное произведение этих векторов двумя способами:

1. По определению.
поскольку угол между единичными векторами и равен α + β.

2. Через координаты. Имеем:

Итак, получена следующая формула сложения:

Заменим в этой формуле β на –β. Получим ещё одну формулу.

Имеем:
Значит,

Заменим в этой формуле β на –β, получим ещё одну формулу.

Из этих формул непосредственно следует, что

Последняя формула справедлива при

Эта формула справедлива при

Заменяя в последних формулах β на –β, получим ещё две формулы:

Последняя формула справедлива при

Эта формула справедлива при

Итак, нами получены все формулы сложения для тригонометрических функций. Получим из них прямые следствия, положив в них во всех α = β.

sin 2α = 2 sin α cos α;

Эти формулы называются формулами двойного угла.

Воспользуется теперь второй из этих формул и основным тригонометрическим тождеством. Получим:

Если же теперь воспользоваться формулой разности квадратов, то получится

Если в формулах сложения положить, например, β = 2α, то получим формулы кратного аргумента.

Совершенно аналогично получается формула
Полученные формулы называются формулами кратного аргумента. Аналогично можно получить формулы синуса и косинуса 4α, 5α и т. д.

Пример 6

Упростите выражение

Показать решение

Ответ. −2.

Перепишем теперь формулу синуса двойного угла в следующем виде:

Аналогично можно поступить с косинусом двойного угла. Получается
Разделив последнюю формулу на предпоследнюю, имеем:
Последние три формулы и формулу тангенса двойного угла часто записывают в следующем виде:

Эти формулы показывают, что все основные тригонометрические функции могут быть рационально выражены через а именно:

Говорят, что замена является универсальной подстановкой для основных тригонометрических функций.

Из формулы косинуса двойного угла
следуют формулы понижения степени:

Если в последних формулах заменить α на то получатся формулы половинного аргумента:

Можно получить немного другие формулы половинного аргумента для тангенса и котангенса. А именно:

Совершенно аналогично получается формула

Запишем теперь две формулы сложения:
Сложим их:
Вычтем их:

Если рассмотреть две другие формулы сложения:
и сложить их, то получится

Три полученные формулы называются формулами преобразования произведения в сумму.

Перепишем первую из полученных формул преобразования произведения в сумму в виде

Сделаем замену переменных: x = α – β, y = α + β. Из этой замены следует, что и и последняя формула имеет вид

Совершенно аналогично получаются другие формулы преобразования суммы в произведение.