Глава 3. Решение уравнений и неравенств

3.1.

3.1.3.

Пожалуй, самым важным методом решения уравнений любого типа является введение нового неизвестного, относительно которого уравнение имеет более простой вид, легко приводящийся к элементарному типу.

Перечислим наиболее часто встречающиеся типы замен.

• Замена y = xⁿ (степенная замена)

  В частности, с помощью замены y = x² так называемое биквадратное уравнение ax⁴ + bx² + c = 0, a ≠ 0 приводится к квадратному.

• Замена или (замена многочлена)

  Чаще всего встречается замена или

• Замена (дробно-рациональная замена). Здесь, как и всегда, и − многочлены степеней n и m соответственно.

  В частности, с помощью широко распространённой замены решаются так называемые возвратные уравнения, то есть уравнения вида
  

  ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0, a ≠ 0.

  Покажем, как это делается. Так как a ≠ 0, то число x = 0 не является корнем этого уравнения. Разделим уравнение на x² ≠ 0, получим
  А так как то после замены уравнение сводится к квадратному

Дадим два практических совета.

Совет 1. Замену переменных нужно делать сразу, при первой же возможности.

Совет 2. Уравнение относительно новой переменной нужно решать до конца, и лишь затем возвращаться к старому неизвестному.