3.1.8. Уравнения, содержащие модуль

Самый распространённый, а иногда и единственно возможный метод решения уравнений с модулем – раскрытие модуля согласно определению:

Пример 1

Решите уравнение |x – 5| – |2x + 8| = –12.

Показать решение

Этот метод удобно применять, когда подмодульные выражения довольно просты (линейны), и можно сразу понять, где они обращаются в нуль. Рассмотрим простейшее уравнение с модулем вида

|f (x)| = g (x),

(9)

где функция f (x) проще функции g (x). Это уравнение равносильно следующей системе уравнений:

Убедиться в справедливости этого утверждения можно, перебрав все возможные варианты.

Если же под модулем стоит функция, найти корни которой затруднительно, то условие равносильности можно переписать так:

Пример 2

Решите уравнение 2|x² + 2x – 5| = x – 1.

Показать решение

В случае вложенных знаков модуля применим этот метод несколько раз. Здесь тоже можно рассмотреть весь набор получающихся при раскрытии модуля уравнений среди решений которых содержатся решения исходного уравнения, а потом отобрать из всех полученных решений подходящие хотя бы с помощью проверки.

Пример 3

Решите уравнение

Показать решение

Глава 3. Решение уравнений и неравенств

3.1. document.write('Общие приёмы решения уравнений');

3.1.8. document.write('Уравнения, содержащие модуль'); window.top.document.title = "3.1.8. Уравнения, содержащие модуль";

3.1.

3.1.8.