Глава M. Методика

M.3.

M.3.4.

Тема. Квадратный трёхчлен.

Цель урока. Научиться использовать на практике формулы сокращённого умножения при решении задач.

Основные понятия. Разложение квадратного трёхчлена на множители.

Самостоятельная деятельность учащихся. Применение теоремы о разложении квадратного трёхчлена на множители при решении задач.

Использование новых информационных технологий. В качестве дополнительного иллюстративного материала показ формул сокращённого умножения на компьютере (используется компьютерная модель 3.8. Решение уравнений графическим методом).

План урока

Методический комментарий учителю

Эта тема является основополагающей в разделе «Тождественные преобразования алгебраических выражений». Поэтому важно, чтобы учащиеся автоматически умели не только видеть в примерах формулы сокращённого умножения, но и применять их в других заданиях: в таких как решение уравнений, преобразование выражений, доказательство тождеств.

Приведём такую подборку упражнений, с помощью которых, на наш взгляд, удобно отработать на практике формулы сокращённого умножения. Обращаем ваше внимание, что упражнения идут по линии нарастания трудности материала (от простого к сложному). Эта подборка задач поможет правильно оценить и сильных, и слабых учеников.

В этой теме основное внимание уделяется разложению квадратного трёхчлена на множители. Достаточно много времени уделяется теореме: ax² + bx + c = a(x – x₁)(x – x₂), где x₁ и x₂ – корни квадратного уравнения ax² + bx + c = 0.

Поэтому, на наш взгляд, необходимо поработать с моделью 3.8, наглядно просмотреть графическое решение квадратных уравнений на следующих примерах:

1. Решить уравнение x² – 6x + 8 = 0;
2. Решить уравнение x² – 3x + 2 = 0;
3. Решить уравнение x² + 2x – 3 = 0.

Кроме того, важное место занимает теорема Виета. Обычные школьные учебники содержат достаточно стандартную систему упражнений. Например, часто встречаются сюжеты типа:

• не используя формулу корней, найдите корни квадратного уравнения;
• составьте квадратное уравнение, корнями которого являются данные числа;
• назовите сумму и произведение корней уравнения;
• разложите на множители квадратный трёхчлен.

Конечно, эти задания являются обязательным минимумом, и мы их тоже обязательно включим в наш урок решения задач. Однако, на наш взгляд, необходимо разнообразить систему упражнений, включив в неё:

• нестандартные сюжеты, задачи с параметром;
• умение сокращать алгебраические дроби, используя формулу разложения квадратного трёхчлена на множители;
• умение упрощать алгебраические выражения.

Основное содержание урока

1. Разложите на множители квадратный трёхчлен:
       а) x² – 12x + 24;
       б) –x² + 16x – 15;
       в) 3x² + 5x – 2;
       г) –5x² + 6x – 1.
2. Сократите дробь:
       а)
       б)
       в)
       г)
3. Упростите выражение:
       а)
       б)
4. Решите уравнение
       а)
       б)
5. Не используя формулу корней, найдите корни квадратного уравнения:
       а) x² + 3x + 2 = 0;
       б) x² – 9x + 20 = 0.
6. Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа:
       а) x₁ = 4; x₂ = 2;
       б) x₁ = 3; x₂ = –3 ;
       в)
7. * При каком значении параметра p сумма корней квадратного уравнения x² + (p² + 4p – 5)x – p = 0 равна нулю?
8. * При каком значении параметра p произведение корней квадратного уравнения x² + 3x + (p² – 7p + 12) = 0 равно нулю?
9. * Докажите, что уравнение ax² + bx + c = 0 имеет корень, равный –1, если a – b + c = 0.
10. * Пусть x₁ и x₂ – корни уравнения x² – 9x – 17 = 0. Не решая уравнения, вычислите:
        а)
        б)
11. * Дано уравнение x² – (2p² – p – 6)x + (8p – 1) = 0. Известно, что сумма его корней равна –5. Найдите значение параметра p.
12. * Дано уравнение x² – (p + 1)x + (2p² – 9p – 12) = 0. Известно, что произведение его корней равно –21. Найдите значение параметра p.
13. * При некотором значении параметра p корни квадратного уравнения 2px² + (p² – 9)x – 5p + 2 = 0 являются противоположными числами. Найдите эти корни.
14. * При некотором значении параметра p корни квадратного уравнения 2px² + 5x + p + 1 = 0 являются взаимно обратными числами. Найдите эти корни.
15. * Один из корней квадратного уравнения 2x² – 14x + p = 0 больше другого в 2,5 раза. Найдите значение параметра p и корни уравнения.

1. Какую теорему мы сегодня изучили на уроке?
2. При решении каких задач нам нужно уметь раскладывать квадратный трёхчлен на множители?

1. Выучить теорему о разложении квадратного трёхчлена на множители.
2. № 1157–1159, № 1160, № 1162, № 1164 из задачника 8 класса А. Г. Мордковича, Т. Н. Мишустиной, Е. Е. Тульчинской.