Глава 4. Комбинаторика

Модель 4.7. 

Если случайная переменная величина A может принимать любые значения в интервале (a; b), то такая случайная величина называется непрерывной. Вероятность, что такая случайная величина примет то или иное значение, равна нулю, так как число возможных случаев бесконечно. Считая, что для каждого малого участка допустимых значений случайной величины A вероятность попадания на него значения рассматриваемой случайной величины пропорциональна длине этого участка, можно охарактеризовать случайную величину A, указав вероятность φ (x) dx того, что x < A < x + dx. При этом функция φ (x) называется плотностью распределения непрерывной случайной величины A.

Математическое ожидание (среднее значение) для непрерывного распределения описывается формулой а дисперсия (квадрат среднеквадратичного отклонения) – формулой Среднеквадратичное отклонение часто обозначается буквой σ.

Простейшим непрерывным распределением является распределение с постоянной плотностью где  a и b – некоторые константы. Математическое ожидание для этого распределения равно а дисперсия

Наиболее изученным и имеющим широкое применение является так называемый нормальный закон распределения:
где  a > 0, σ > 0. Нормальное распределение встречается в тех случаях, когда рассматриваемая случайная величина представляет собой сумму большого ряда независимых случайных величин, каждая из которых мала по сравнению с самой суммой.

В частности, нормальный закон используется в анализе случайных ошибок наблюдения (распределение Гаусса), в молекулярно-кинетической теории (распределение Максвелла). Математическое ожидание для этого распределения а среднеквадратичное отклонение равно σ. График плотности нормального распределения симметричен относительно вертикальной прямой x = a и имеет максимум в точке Чем меньшую дисперсию имеет распределение, тем более узким и высоким становится максимум.

Показательное распределение описывается формулами

В нормальном распределении случайная величина x может принимать любые действительные значения, а в логнормальном и показательном – любые положительные значения.

Существуют также и другие непрерывные функции распределения вероятности.

В интерактивном режиме вы можете выбрать тип распределения, его основные параметры, ввести значения x и Δx и определить значение функции распределения плотности вероятности в точке x. Вероятность того, что случайная величина x будет принадлежать интервалу [x; x + Δx], соответствует площади криволинейной трапеции, выделенной зеленым. Желтым выделена криволинейная трапеция со средней линией в математическом ожидании величины x и высотой в два среднеквадратичных отклонения.