Глава 4. Комбинаторика

4.3.

4.3.7.

	Если случайная величина A может принимать любые значения в интервале (a; b), то такая случайная величина называется непрерывной.

Вернемся к стрелку, на примере которого мы вводили понятие дискретного распределения вероятностей. Тогда мы рассматривали результат его стрельбы в виде номера круга, в который он попал. Теперь же представим, что, попадая в мишень, стрела оставляет на мишени точку. Вероятность того, что стрела два раза попадёт в одно и то же место, очень мала, поэтому можно считать, что точки не пересекаются. Мы увидим примерно такую картинку.

1

Рисунок 4.3.7.1

Если разделить количество точек, попавших в небольшой квадрат площадью ΔS = ΔxΔy, на общее количество выстрелов, то получится вероятность попадания в выделенный квадрат. Запишем:

Здесь мы предполагаем, что площадка ΔS настолько мала, что попадания внутри этой площадки распределены равномерно. Тогда вероятность попадания в маленький квадрат будет зависеть от координаты центра этого квадрата и станет пропорциональной его площади:

При устремлении площади квадратика к нулю (вспомните школьный курс интегрального исчисления) конечные разности нужно заменить на дифференциалы: Итак,
Функция φ (x, y), которая входит в это равенство, называется плотностью вероятности. Домноженная на дифференциал площади, она равна вероятности попадания стрелка в бесконечно малую окрестность точки (x, y).

Если нам нужно будет узнать вероятность, с которой стрелок попадает в площадку мишени, на которой плотность вероятности нельзя считать постоянной, эту функцию придется интегрировать.

Плотность вероятности существует и для распределений, зависящих от одной переменной. Рассмотрим это на следующем примере.

Пусть x – это расстояние от точки, в которую попал стрелок, до центра мишени. Тогда p (dx) = φ (x) dx – вероятность попадания стрелком в окрестность dx точки x. Вероятность того, что стрелок «попадёт» в промежуток [x₁; x₂],

2

Рисунок 4.3.7.2

Отсюда следует важное свойство плотности вероятности. Поскольку попадание случайной величины x в интервал (–∞; +∞) – событие достоверное, то справедливо свойство нормировки плотности распределения вероятности.

Нормировка плотности распределения вероятности

Пример 1

Для некоторого случайного процесса график зависимости плотности вероятности от значения переменной x выглядит следующим образом:

3

Рисунок 4.3.7.3

Найти величину a.

Показать решение

Если φ (x) – плотность распределения вероятности, то В нашем случае Следовательно, Отсюда Обратите внимание, что интеграл от функции равен площади под графиком функции. Следовательно, площадь под графиком функции плотности вероятности φ (x) равна единице. Ответ.

Математическое ожидание величины x для непрерывного распределения, задаваемого плотностью φ (x), определяется формулой а дисперсия – формулой

Среднеквадратичное отклонение по-прежнему задается формулой

Вообще, в том случае, если плотность распределения случайной величины x равна φ (x), математическое ожидание какой-либо функции f (x) этой случайной величины задаётся формулой

Так же, как и для дискретных процессов, для непрерывной случайной величины существуют несколько характерных распределений вероятностей.

1. Постоянное распределение

Распределение, частный случай которого приведён в примере 1, называется постоянным распределением. Его плотность принимает одно и то же значение на некотором отрезке x  [a; b] и равна нулю вне этого отрезка. Учитывая свойство нормировки плотности распределения становится ясно, что значение φ (x) полностью задаётся шириной отрезка [a; b].

4

Рисунок 4.3.7.4. Плотность вероятности постоянного распределения при a = 1, b = 5

2. Экспоненциальное, или показательное распределение

Рассмотрим прохождение потока частиц через какое-либо вещество. Часть частиц будет поглощаться веществом. Разделим мысленно среду на тонкие пластинки, и пусть, проходя через каждую пластинку, количество частиц в потоке уменьшается в p раз. Тогда, пройдя k пластинок, от начального потока останется лишь p^k-я часть.

В реальных условиях процесс поглощения частиц всегда случаен. Можно сказать, что вероятность обнаружить частицу после прохождения через k пластинок равна где a – некоторая константа, значение которой мы найдём позже. Введём новую величину λ = –ln p, тогда и Устремим ширину пластинки к нулю, одновременно увеличивая количество пластинок. В этом случае можно записать, что вероятность обнаружить частицу на глубине x внутри среды равна  (x > 0). Плотность распределения величины x можно вычислить при наложении дополнительного условия Так как выражение равно единице по условию нормировки, то a = λ.

Плотность вероятности экспоненциального распределения описывается формулой

Его математическое ожидание и среднеквадратичное отклонение можно получить путём интегрирования по частям. Пропуская вычисления, запишем сразу результат:

5

Рисунок 4.3.7.5. Плотность вероятности экспоненциального распределения

Пример 3

Вероятность того, что лампочка перегорит ровно через t дней, подчиняется закону p₀ (t) = 0,02 e^–0,02t. Найти вероятность того, что 100 дней лампочка будет работать безотказно.

Показать решение

Найдём сначала вероятность перегорания за 100 дней: Тогда вероятность безотказной работы Ответ. 0,135

3. Рассматривая в предыдущем параграфе дискретные распределения, мы говорили о том, что если распределение вероятностей вызвано сложением большого количества случайных событий, каждое из которых мало влияет на результат, то это, скорее всего, распределение Пуассона. В аналогичном непрерывном случае получается распределение Гаусса, которое часто называют нормальным распределением.

Плотность вероятности нормального распределения имеет вид:

В этой формуле a – математическое ожидание величины x, а σ – ее среднеквадратичное отклонение. Вывод этой формулы из распределения Пуассона основан на формуле Стирлинга и разложении в ряд Тейлора; для школьного курса он слишком сложен, и поэтому мы его опускаем.

6

Рисунок 4.3.7.6. Плотность вероятности нормального распределения

Сумма двух нормальных распределений с параметрами и также является нормальным распределением с параметрами и

Нормальному распределению подчиняются случайные ошибки измерений.

4. Частным случаем нормального распределения является логарифмически нормальное. Оно легко получается из нормального заменой x на ln x:

Здесь учтено, что

Плотность логарифмически нормального распределения

7

Рисунок 4.3.7.7. Плотность вероятности логнормального распределения

Модель 4.7. Распределения вероятностей