Пусть ABCD – данный ромб. Рассмотрим треугольник ABD. AB = AD по условию, и, следовательно, Δ ABD равнобедренный. Так как ABCD – параллелограмм, то BO = OD. Тогда AO – медиана и по теореме 4.4 AO – высота в треугольнике BAD. Следовательно, (AC)  (BD) .

2

Рисунок 7.3.2. Диагонали ромба

Пусть ABCD – данный ромб. Рассмотрим треугольник ABD. AB = AD по условию, и, следовательно, Δ ABD – равнобедренный. Так как ABCD – параллелограмм, то BO = OD. Тогда AO – медиана и по теореме 4.4 AO – биссектриса в треугольнике BAD. Следовательно, BAO = DAO. Аналогично, рассмотрев треугольник ABC, получаем, что BO – медиана в равнобедренном треугольнике ABC, и, следовательно, BO – биссектриса угла ABC. Теорема доказана.

3

Рисунок 7.3.3. К теореме 7.9

Пусть ABCD – данный параллелограмм, AC и BD – его диагонали и (AC)  (BD). Пусть O – точка пересечения диагоналей параллелограмма. Треугольник ABC – равнобедренный с основанием AC. Действительно, так как диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам, то AO = OC, и тогда BO – медиана треугольника ABC, проведенная к стороне AC. Но по условию (BO)  (AC) и [BO] – высота треугольника ABC. Тогда по теореме 4.6 ABC – равнобедренный треугольник с основанием AC. Отсюда – AB = BC. По свойству равенства противоположных сторон параллелограмма (теорема 7.3) следует, что AB = BC = CD = AD. Таким образом, данный параллелограмм – ромб. Теорема доказана.

4

Рисунок 7.3.4. К теореме 7.10

Пусть ABCD – данный параллелограмм, AC – его диагональ и, при этом, AC – биссектриса угла A параллелограмма. Так как AC – биссектриса угла A, то BAC = CAD. С другой стороны, углы CAD и BCA внутренние накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей AC и по теореме 3.4 BCA = CAD. Отсюда BAC = BCA и по признаку равнобедренного треугольника (теорема 4.5) ABC равнобедренный, и, следовательно, AB = BC. Так как ABCD – параллелограмм, то AB = CD, BC = AD. Тогда AB = BC = CD = AD. Таким образом, ABCD – ромб. Теорема доказана.

5

Рисунок 7.3.5. К теореме 7.11