Глава 7. Четырехугольник
7.2. Параллелограмм
Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.
Высотой параллелограмма, проведенной к данной его стороне, называется перпендикуляр, опущенный из произвольной точки противолежащей стороны к прямой, содержащей данную сторону.
Признаки параллелограмма.
Теорема 7.1.
Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник – параллелограмм.
Пусть ABCD – данный четырехугольник. По условию AO = OC, BO = OD. Так как углы (AOB) и (COD) равны как вертикальные, то по теореме 4.1 треугольник AOB равен треугольнику COD, и, следовательно, углы (OAB) и (OCD) равны. Эти углы являются внутренними накрест лежащими при прямых (AB) и (CD) и секущей (AC) и по теореме 3.2 прямые (AB) и (CD) параллельны. Аналогично из равенства треугольников AOD и COB следует равенство углов (OAD) и (OCB) и по теореме 3.2 – параллельность прямых (AD) и (BC). Из полученных результатов следует, что четырехугольник ABCD – параллелограмм. Теорема доказана.
 1
|
| Рисунок 7.2.1. Диагонали четырехугольника
|
|
Теорема 7.2.
Если у четырехугольника пара противоположных сторон параллельны и равны, то четырехугольник – параллелограмм.
Пусть ABCD – данный четырехугольник и (AB) || (CD), AB = CD.
 2
|
| Рисунок 7.2.2. К теореме 7.2
|
Проведем диагональ AC. Получившиеся треугольники ABC и ADC равны. Действительно, стороны AB и CD равны по условию, сторона AC – общая, углы ACD и BAC равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD и секущей AC. Из равенства треугольников следует равенство углов CAD и ACB. Данные углы являются внутренними накрест лежащими при прямых BC и AD и секущей AC. По теореме 3.2 прямые BC и AD параллельны. Следовательно, четырехугольник ABCD параллелограмм по определению. Теорема доказана.
|
Теорема 7.3.
Если у четырехугольника противолежащие стороны попарно равны, такой четырехугольник – параллелограмм.
Пусть ABCD – данный четырехугольник, и AB = CD, BC = AD.
 3
|
| Рисунок 7.2.3. К теореме 7.3
|
Проведем диагональ AC. Получившиеся треугольники ABC и CDA равны по трем сторонам. Действительно, AB = CD, BC = AD по условию, а сторона AC – общая. Тогда  BCA = CAD и BAC = ACD. Первые два угла являются внутренними накрест лежащими при прямых BC и AD и секущей AC, а вторая пара – при прямых AB и CD и секущей AC. Из равенства внутренних накрест лежащих углов по теореме 3.2 следует параллельность соответствующих прямых, а именно: из равенства углов BCA и CAD следует параллельность прямых BC и AD, а из равенства углов BAC и ACD – параллельность прямых AB и CD. Тогда по определению четырехугольник ABCD – параллелограмм.
|
Теорема 7.4.
Если в четырехугольнике противолежащие углы равны, такой четырехугольник – параллелограмм.
Пусть ABCD – данный четырехугольник, и B = D,A = C. Проведем диагональ AC.
 4
|
| Рисунок 7.2.4. К теореме 7.4
|
Сумма углов четырехугольника равна сумме углов треугольника ABC и треугольника ACD. Так как сумма углов каждого треугольника – 180°, то A + B + C + D = 360°. С учетом условия получаем, что A +D = 180° и C + D = 180°.
Углы A и D являются внутренними односторонними при прямых AB и CD и секущей AD, и, так как их сумма равна 180°, то по следствию 3.2 прямые AB и CD – параллельны. Аналогично углы C и D являются внутренними односторонними при прямых BC и AD и секущей CD, а сумма их равна 180°, и, следовательно, прямые BC и AD – параллельны. Таким образом, четырехугольник ABCD – параллелограмм по определению, что и требовалось доказать.
|
Свойствa параллелограмма.
Теорема 7.5.
Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пресечения делятся пополам.
Пусть ABCD – данный параллелограмм. По определению (AB) || (CD) и (AD) || (BC). Пусть O – середина диагонали BD и на луче, дополняющем луч OA, отложен отрезок OC1, равный отрезку OA. По теореме 7.1 получившийся четырехугольник ABC1D – параллелограмм, и, следовательно, (BC1) || (AD) и (AB) || (C1D). С учетом условия – (BC) || (AD) и (AB) || (CD). В соответствии с теоремой 3.3 (BC) = (BC1) и (DC) = (DC1). Поэтому точки C и C1 совпадают. Следовательно, совпадают параллелограммы ABCD и ABC1D. Отсюда AO = OC и BO = OD. Теорема доказана.
 5
|
| Рисунок 7.2.5. К теореме 7.5
|
|
Следствие 7.1.
Параллелограмм – выпуклый четырехугольник.
Теорема 7.6.
У параллелограмма противолежащие стороны равны, противолежащие углы равны.
Пусть ABCD – данный параллелограмм, т.е. (AB) || (CD) и (BC) || (AD) и O – точка пересечения диагоналей. Тогда AO = OC и BO = OD. Поскольку углы (AOB) и (COD) равны как вертикальные, то по теореме 4.1 треугольники AOB и COD равны, и, как следствие, AB = CD. Аналогично из равенства углов (AOD) и (COB) как вертикальных и равенства треугольников BOC и DOA следует равенство сторон AD и BC.
В силу доказанного в треугольниках BAD, DCB AB = DC, AD = BC и BD – общая сторона и по теореме 4.8 Δ BAD = Δ DCB. Тогда BCD = BAD. Аналогично из равенства треугольников ABC и CDA следует равенство углов (ABC) и (CDA). Теорема доказана.
 6
|
| Рисунок 7.2.6. К теореме 7.6
|
|
Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.
 7
|
| Рисунок 7.2.7. Прямоугольник
|
Свойство прямоугольника задается следующей теоремой:
Теорема 7.7.
Диагонали прямоугольника равны.
Пусть ABCD – данный прямоугольник. Прямоугольные треугольники BAD и ABC равны по теореме 4.1, так как AD = BC, AB – общая сторона. BAD = ABC = 90°. Отсюда BD = AC. Теорема доказана.
 8
|
| Рисунок 7.2.8. К теореме 7.7
|
|
