Глава 3. Основы небесной механики

3.1. Движение в гравитационном поле

3.1.2. Механическая энергия в гравитационном поле

1

Рисунок 3.1.2.1. Закон сохранения энергии в гравитационном поле

В общем случае невозмущенное движение в гравитационном поле определяется законом сохранения энергии, то есть K + U = сonst, где – кинетическая энергия тела массой m, движущегося со скоростью υ,  – потенциальная энергия этого тела, находящегося на расстоянии r от тела массой M. Закон сохранения энергии можно переписать в виде:

Константа h называется постоянной энергии. Она прямо пропорциональна полной механической энергии тела E и зависит только от начального радиус-вектора r₀ и начальной скорости υ₀. При h < 0 ( ) кинетической энергии тела недостаточно для преодоления гравитационной связи. Величина радиус-вектора тела ограничена сверху и имеет место обращение по замкнутой, эллиптической орбите. Такое движение можно уподобить движению маятника – тот же самый переход кинетической энергии в потенциальную во время подъема и обратный – при опускании. Подобное движение называется финитным. Для h = 0 ( ) при неограниченном возрастании радиус-вектора тела его скорость уменьшается до нуля – это движение по параболе. Оно инфинитно. При h > 0 ( ) кинетическая энергия тела достаточно велика, и на бесконечном расстоянии от притягивающего центра тело будет иметь ненулевую скорость удаления от него – это движение по гиперболе. Тело также может двигаться по прямой. Это происходит, когда его скорость направлена к притягивающемуся центру или от него. Таким образом, можно сказать, что тело движется относительно притягивающего центра только по орбитам, являющимися коническими сечениями.

2

Рисунок 3.1.2.2. Финитное и инфинитное движения

Критическая скорость, при которой происходит движение по параболе, называют параболической скоростью. Ее можно определить из закона сохранения энергии:

Таким образом, чтобы навсегда покинуть Землю, тело у поверхности Земли должно иметь скорость не меньше 11,2 км/с. Аналогичная величина для Солнца составляет 618 км/с. Тело, стремящееся навсегда покинуть Солнечную систему и находящееся на орбите Земли, должно иметь скорость не меньше 42,1 км/с.

Приближение тела к притягивающему центру всегда должно сопровождаться увеличением орбитальной скорости тела, а удаление – уменьшением в полном соответствии со вторым законом Кеплера.