Глава 3. Основы небесной механики

3.1. Движение в гравитационном поле

3.1.2.1. Конические сечения

В 1679 году Исаак Ньютон показал, что любое тело в поле тяготения будет двигаться по коническому сечению.

1

Рисунок 3.1.2.1.1. Конические сечения и космические орбиты

Конические сечения образуются при пересечении прямого кругового конуса с плоскостью. К коническим сечениям относятся кривые второго порядка: эллипс, парабола и гипербола, а также пара параллельных прямых. Все они является геометрическим местом точек, отношение расстояний от которых до заданной точки (фокуса) и до заданной прямой (директрисы) есть величина постоянная, равная эксцентриситету e. При e < 1 получается эллипс, при e = 1 – парабола, при e > 1 – гипербола.

2

Рисунок 3.1.2.1.2. Важнейшие точки и линии эллипса

Эллипс определяется как геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от двух заданных точек (фокусов F₁ и F₂) есть величина постоянная и равная длине большой оси: r₁ + r₂ = |AA´| = 2a. Степень вытянутости эллипса характеризуется его эксцентриситетом e. Эксцентриситет e = OF/OA. При совпадении фокусов с центром e = 0, и эллипс превращается в окружность.

Большая полуось a является средним расстоянием от фокуса (планеты от Солнца):

a = (AF1 + F1A')/2.

Она связана с механической энергией тела следующим соотношением

Так как при движении по эллипсу полная энергия отрицательна, большая полуось больше нуля. Длина малой полуоси b зависит от секториальной скорости тела (т.е. скорости изменения площади, заметаемой радиус-вектором):

Круговые орбиты являются вырожденным случаем эллиптических. Записывая второй закон Ньютона, получим, что кинетическая и потенциальная энергия тела на круговой орбите связаны соотношением:

2K = –U.

Применяя закон сохранения энергии, легко получить, что

K = –E.

Таким образом при круговом движении сумма полной и кинетической энергии всегда равна нулю.

Элементы орбиты характеризуют форму, размеры и ориентацию в пространстве орбиты небесного тела, а также положение тела на этой орбите. В настоящее время для описания положения планеты или спутника широко используются оскуллирующие элементы.

3

Рисунок 3.1.2.1.3. Как нарисовать эллипс?

Точка орбиты тела, ближайшая к притягивающему центру (фокусу), в общем случае называется перицентром, а наиболее удаленная от него (только у эллипса) – апоцентром. Если притягивающим центром является Земля, то эти точки называются соответственно перигеем и апогеем. Наиболее близкая точка к Солнцу называется перигелий, наиболее удаленная – афелий. Для Луны эти точки будут перилунием (периселением) и аполунием (апоселением), для произвольной звезды – периастром и апоастром. Прямая, соединяющая перицентр с фокусом (большая ось эллипса, ось параболы или действительная ось гиперболы), называется линией апсид.

Расстояние от притягивающего центра до перицентра равно АF₁ = a (1 – e), до апоцентра –F₁A' = a (1 + e). Среднее расстояние от притягивающего центра до тела, движущегося вокруг него по эллипсу, равно длине большой полуоси.