Глава 2. Элементарные функции и их графики

2.1. Линейная функция

2.1.1. Прямая пропорциональность

Рассмотрим следующую задачу. Мотоцикл движется со скоростью 50 км/ч. Построить график зависимости расстояния, пройденного автомобилем, от времени за первые 6 часов движения.

Поместим сведения о движении мотоцикла в таблицу.

График 2.1.1.1. График зависимости пути, пройденного мотоциклом, от времени

Построим по этой таблице график функции y = S (t). Точки, описанные в таблице, лежат на одной прямой y = 50 t (км). Если мы хотим узнать путь мотоцикла за 3,5 часа, найдем на оси абсцисс точку t = 3,5, восстановим к этой оси перпендикуляр из данной точки. Он пересечет график функции в точке A. Спроецировав точку A на ось ординат, получим путь, равный 175 км.

В рассмотренной задаче, как и во многих других случаях, встречается ситуация, когда одна величина изменяется пропорционально другой. Так, длина окружности изменяется пропорционально ее радиусу: l = 2πR, площадь прямоугольника с постоянной шириной b пропорциональна длине прямоугольника: S = a · b, путь при равномерном движении пропорционален времени. В таких случаях мы имеем дело с функцией

y = k x,

называемой прямой пропорциональностью. Графиком этой функции является прямая, проходящая через начало координат и не совпадающая с осью OY. Число k называется наклоном или угловым коэффициентом прямой.

Рассмотрим k > 0 и выберем на графике y = kx точку A (1; k). Пусть α – угол, образованный графиком с положительным направлением оси OX (его называют углом наклона прямой). Из прямоугольного треугольника OAB (см. рисунок) имеем, что

Если же k < 0, то график функции y = kx образует с положительным направлением оси абсцисс тупой угол β. Выберем на графике точку A (1; k) Из теоремы о смежных углах следует, что α = 180º – β. Следовательно, Наконец, если k = 0, то угол α также равен нулю. Таким образом доказана следующая теорема.