Глава 2. Элементарные функции и их графики

2.1. Линейная функция

2.1.4. Кусочно-линейная функция

Рассмотрим функцию На рисунке показан график этой функции. Чтобы его получить, построим график функции y = 2 – x при x < 1 и y = x при x ≥ 1. График представляет собой угол с вершиной A (1, 1) или объединение двух лучей с общей вершиной A. Заметим, что эта функция может быть задана с помощью формулы y = |x – 1| + 1.

График функции также состоит из двух «кусков» (или представляет собой угол с вершиной (–1; 3)).

Если функция содержит несколько модулей, то раскрывают значение каждого из них на соответствующем промежутке. Таким образом, функция y = a₁ |x – x₁| + a₂ |x – x₂| + … + a_n |x – x_n| + b x + c представима следующим образом:
в виде , где y₁, y₂, …, y_n, y_n + 1 – линейные функции. Графиком такой функции является ломаная, имеющая n вершин с абсциссами в точках x₁, x₂, …, x_n (эти точки называются угловыми). Ломаная имеет n + 1 звено (луч либо отрезок). Описанная выше функция называется непрерывной кусочно-линейной функцией.

Функция, задаваемая формулой
где y₁, y₂, …, y_n, y_n + 1 – произвольные линейные функции, называется кусочно-линейной.

Модель 2.4. Кусочно-линейная функция

График кусочно-линейной функции удобно строить, указывая на координатной плоскости вершины ломаной. Кроме построения n вершин следует построить также две точки: одну левее вершины A₁ (x₁; y (x₁)), другую – правее вершины A_n (x_n; y (x_n)).

Заметим, что разрывную кусочно-линейную функцию нельзя представить в виде линейной комбинации модулей двучленов.