Глава 2. Элементарные функции и их графики

2.4. Другие элементарные функции

2.4.2. Степенная функция

Степенная функция с натуральным показателем    непрерывна на множестве действительных чисел. Если n нечетное, то эта функция строго возрастает и потому обратима. Обратной к ней является функция Степенная функция с четным показателем необратима. Однако если сузить ее область определения до области неотрицательных чисел, то обратной к ней функцией также будет   x ≥ 0. На множестве (–∞; 0) функцией, обратной к функции  (n – натуральное четное число) будет

Итак, если x > 0, то при любом натуральном n функция обратима, а обратная к ней функция обозначается как или Функция также определена и непрерывна на множестве положительных чисел.

Пусть    Тогда степенной функцией с рациональным показателем  называют функцию

Эта функция определена на множестве чисел x > 0 и непрерывна на всей области определения, строго возрастает при r > 0 () и строго убывает при r < 0 (). Перечислим некоторые свойства рациональных степеней.

a > 0 ar > 1 a > 1, r > 0 или 0 < a < 1, r < 0 ar < 1 a > 1, r < 0 или 0 < a < 1, r > 0 a > 0 a > 0 a > 1, r1 > r2 0 < a < 1, r1 > r2

Таблица 2.4.2.1

Степенная функция с вещественным показателем при x > 0 определяется формулой:

xα = eα ln x

(см. определение логарифма). Эта функция непрерывна и строго возрастает (при α > 0) или строго убывает (при α < 0) на всей области определения. Ее областью значений являются все положительные числа.