Глава 3. Дифференцирование и интегрирование функций

3.1. Производная

3.1.5. Производные элементарных функций

Найдем производные некоторых уже известных нам элементарных функций.

а) Тригонометрические функции.

По свойству предела произведения (мы воспользовались первым замечательным пределом ). Итак,

Аналогичные рассуждения приводят к выводу, что

Производные тангенса и котангенса можно найти как производные частного:

б) Обратные тригонометрические функции.

Рассмотрим функцию y = arcsin x. На отрезке обратной к ней функцией будет x = sin y. Продифференцируем эту функцию по x, считая y функцией от x: или  (на интервале Аналогично выводятся формулы и для других обратных функций. Получаем:

в) Степенная и показательная функции. Рассмотрим функцию y = a^x. Для нее   Но  (это можно доказать, пользуясь определением числа e). Таким образом, если a > 0, a ≠ 1, то

В частности,

Это и обуславливает частое использование основания e в математике и физике. В некоторых учебниках экспоненциальная функция даже вводится как функция, определенная на всей числовой оси, для которой f' (x) = f (x) и f (0) = 1.

  Но  (еще одно следствие замечательного предела ). Таким образом, если a > 0, a ≠ 1, то

В частности,

При x > 0 для любого    Таким образом,

Обобщим результаты вычислений в таблице.